Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Естественно, все вышесказанное относится к анализу лишь установившихся модовых структур. Данная модель резонатора не описывает динамики формирования как временной, так и пространственной структуры поля, поскольку формула (2.81) справедлива лишь в стационарном режиме и не описывает динамики изменения коэффициента усиления в процессе развития импульса генерации. Для описания пространственно-временной эволюции поля в резонаторе необходимо более тщательно описывать процессы, происходящие в активной среде [53, 54]. Не будем более останавливаться на этих вопросах, поскольку они далеко уходят за рамки темы данного параграфа.
Вернемся к методам решения интегрального уравнения. В случае, когда число Френеля велико и сходимость простого итерационного процесса медленная, часто удобно использовать другой приближенный метод — метод моментов [48]. В этом методе приближенное решение интегрального уравнения (2.18) ищется в виде линейной комбинации линейно независимых координатных функций (pi (ъ = 1,... , п)
п
(2.82)
к=1
с неопределенными коэффициентами С&, которые можно вычислить следующим образом: в оператор щщ — L(ui) вместо щ подставляется функция (2.82). Это приводит к выражению:
п
Нф(п)) = -LiiPk)).
к=1
Исходя из требования ортогональности функции P(^n^) ко всем функциям (рт (т = 1,..., п) в области интегрирования в плоскости апертуры S, приходим к условиям
J dsP('4>(n))<p*m = 0 (ш = 1,...,п),
S
из которых получаем систему п линейных алгебраических уравнений
2.5. Методы решения интегрального уравнения
165
относительно С
, Ск(щО!,кт Ркт) = 0, (2.83)
Е(
к=1
где /• /•
(%кт — I ds (pkPrm fikm — I ds if mLi{ipk) •
Решение данной системы дает значения С&, а, следовательно, и приближенное решение интегрального уравнения (2.18). Нетривиальное решение системы уравнений (2.83) возможно лишь при условии, что детерминант системы равен нулю. Поэтому имеем уравнение для приближенного значения собственного числа щ в виде
det ||щакт ~ Ркт\\ = 0. (2.84)
Оценку точности вычислений по методу моментов проводят путем сравнения полученных приближенных значений и
ф(п+1) (2.80).
Отметим, что применение метода моментов равносильно замене ядра интегрального уравнения K(t2,ti) (см. например, (2.49)) вырожденным ядром Кп(г2,Ь), строящимся следующим образом. Предполагая ортонормированность системы функций у?*., разлагают ядро K(t2,ti), как функцию t2 в ряд Фурье по этой ортонормированной системе и за Kn(t2,ti) принимают п-ю частичную сумму этого ряда. Получают п
Kn(t2,h) = 'Y^Fj(t1)<pj{t2),
3 =1
где 1
Fj{h) = J K(t2,t1)ipj(t2)dt2
¦j\4) = J Л ^2, Ul.2
0
Использование метода моментов особенно эффективно в тех случаях, когда приблизительно известен характер возможных решений. Например, если негауссовый оптический элемент, помещенный в резонатор, не слишком сильно искажает поле, то моды резонатора должны быть близки к гауссовым. Поэтому удобно в качестве координатных функций ip к взять гауссовы пучки соответствующего порядка. Очевидно, что при слабых искажениях поля в негауссовом элементе, поле г-й моды будет близко к гауссовому пучку Следовательно, в представле-
нии (2.82) достаточно взять лишь несколько ближайших членов. Это приводит к системе уравнений (2.83) не слишком высокого порядка, которую нетрудно решить.
Часто бывает, что при правильном выборе системы координатных функций, достаточно взять п ~ 2-3 [55]. При этом мы получаем фактически аналитический метод приближенного решения интегрального уравнения, позволяющий легко исследовать поведение модовой структуры от того или иного параметра.
166
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Очевидно, сходство метода моментов с методом теории возмущений, который весьма часто используется в теории резонаторов. В теории возмущений интегральный оператор, описывающий резонатор, представляется в виде
L = L0 + V,
где Lo — интегральный оператор резонатора, моды которого нам известны, V — малое возмущение оператора Lo, обусловленно действием новых элементов. Собственные функции оператора L ищутся в виде
Fi = Ui + ^ ^ QLik^ik • к
Не останавливаясь на основах метода теории возмущений, подробно изложенных во многих руководствах [56], приведем лишь выражения, в первом порядке малости, для коэффициентов и собственных чисел Vi оператора L:
aik ~ —, Vi ~ ** + Vu, (2.85)
Кг -
где
Vik = J dsuiV{uk) (2.86)
s
— матричный элемент оператора возмущения. Обратим внимание, что в подынтегральном выражении матричного элемента отсутствует знак комплексного сопряжения. Такая форма записи связана с тем, что, как было показано в работе [40], в случае, когда ядро оператора L0 симметрично, его собственные функции ортогональны в смысле (2.86), т. е. без знака комплексного сопряжения. В общем случае вопрос о целесообразности использования в формуле (2.86) знака комплексного сопряжения зависит от характера ортогональности функций щ.
В качестве функций невозмущенного оператора чаще всего используют либо гауссовы пучки моды резонатора с гауссовыми элементами, либо собственные функции конфокального резонатора. Последние используются особенно часто, так как позволяют построить приближенное решение, учитывающее в нулевом порядке дифракционные эффекты [40].
