Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
2.5. Методы решения интегрального уравнения
161
0,4 0,6 1,0 2 3 4 6 8 10 20
Рис. 2.14, б
что усиление излучения происходит в двух бесконечно тонких слоях, расположенных вблизи концевых зеркал резонатора (рис. 2.16). Для исследования структуры поля в таком резонаторе можно воспользоваться уравнением (2.49), в котором функцию пропускания аберрационного элемента Т следует заменить на функцию, описывающую распределение стационарного коэффициента усиления в активном слое. В случае, когда усиление излучения за один проход АЭ не велико, имеем [51, 52]
Т = ехр{ ко-----------гтЛ ~ 1 + ко----щ, (2.81)
11 + a\Upi(r, (р)\2 J 1 + a\Upi(r, (р)\2
где к0 — ненасыщенный коэффициент усиления, пропорциональный мощности накачки лазера, а член в знаменателе a\upi\2 описывает эффекты насыщения активной среды под действием подающего поля. Видно, что даже в случае равномерного распределения ненасыщенного коэффициента усиления (ко = const) в процессе генерации, из-за эффектов насыщения, усиление в слое становится неравномерным.
Решение нелинейного интегрального уравнения методом простой итерации аналогично решению линейного уравнения. Разница лишь в том, что в качестве критерия близости приближения ф^ к решению берут не условие (2.80), а
\\ф(п) _ф(п-1)\\ <?
11 В.П. Быков, О.О. Силичев
162
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
ArgOoo) (град.)
80
40
20
10
6
4
2
1
иоо
\
Л \
\ N
\
\
0,10,20,40,61,02 4 61020
q = 0
0,5
0,8
0,9
0,95
1,0
N
Рис. 2.15. Зависимость аргумента собственного числа интегрального уравнения от числа Френеля
поскольку в силу нелинейности уравнения происходит установление не только относительного распределения амплитуды, но и мощности
пучка. Очевидно, что при этом
щ стремится к величине, равной по модулю единице.
Решение методом простой итерации нелинейного уравнения (2.49) с учетом (2.81), для случая осесимметричных полей ('Upi(r,ip) = иро(г)) приводит к следующим результатам.
Во-первых, поперечное распределение стационарных структур в резонаторе с усилением с очень большой точностью совпадает с поперечными модами пустого резонатора. Этот результат позволяет использовать решения, полученные для случая пустого резонатора, при анализе лазерного резонатора с активной средой. Заметим, что этот факт является проявлением общей закономерности, состоящей в слабом искажении поперечных мод амплитудными неоднородностями, в то время, как даже сравнительно слабые, фазовые аберрации могут приводить к весьма сильным искажениям моды [10].
Т Т
Рис. 2.16. Схема симметричного резонатора с бесконечно тонким усиливающим слоем
2.5. Методы решения интегрального уравнения
163
Во-вторых, стационарная структура устанавливается не при всех значениях параметров резонатора. При определенных условиях итерационный процесс сходится не к стационарному полю, а к решению, в котором распределение поля на зеркалах периодически меняется (например, ?/;(п+2) = ег6ф^п\ ?/;(п+3) = ег6>ф^п+1^). Легко показать, что такое решение можно представить в виде суммы двух или более поперечных мод, участвующих в генерации одновременно.
Качественно характер изменения поперечной структуры резонатора с усилением при изменении параметров схемы, например, при увеличении числа Френеля, сводятся к следующему (рис. 2.17). Вначале,
Рис. 2.17. Зависимость мощности генерации и поперечной структуры излучения резонатора с усиливающей средой при изменении числа Френеля
при малых числах N, потери мод велики, усиления недостаточно для компенсации дифракционных потерь. В этом случае итерационный процесс приводит к нулевому решению. Поле в резонаторе неограниченно затухает. В области № 2 значений чисел Френеля (рис. 2.17) реализуется одномодовый характер генерации на низшей поперечной моде. В этом диапазоне значений N усиления достаточно, чтобы компенсировать дифракционные потери основной моды, но не хватает для компенсации потерь первой поперечной моды. В процессе последовательных итераций (2.79) мощность пучка стремится к стационарному значению РГ. При этом поперечное распределение амплитуды пучка приближается к распределению основной моды.
В области № 3 (рис. 2.17) стационарные решения уравнения отсутствуют. В этой области значений N имеет место биение двух низших поперечных мод, приводящих к периодической смене распределения
11*
164
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
амплитуды на зеркалах. Это происходит в силу разной величины фазового набега при обходе резонатора у основной и первой поперечной модами. По мере роста числа Френеля первая мода вытесняет нулевую, и в области № 4 (рис. 2.17) реализуется опять одномодовый режим. При дальнейшем росте N картина будет повторяться. Одномодовый характер генерации будет сменяться ситуацией, при которой в генерации участвует одновременно две и более поперечных мод. Общая закономерность состоит в том, что мода более высокого порядка вытесняет низшие моды. Это связано с тем, что мода более высокого порядка имеет больший поперечный размер и, следовательно, более эффективно использует энергию, запасенную в активной среде.
