Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
данной оптической схемы должны быть подобраны таким образом, чтобы выполнялось соотношение (подробнее об этом в гл. 4):
Р-
ж=°-
(2.78)
Резонатор такого типа принадлежит к классу резонаторов с динамической стабильностью. Кроме того, он является конфокальным. Для того чтобы убедится в этом, построим лучевую матрицу обхода
2.5. Методы решения интегрального уравнения
155
резонатора с началом на выходном зеркале:
А В С А
При выполнении условия (2.78) А = 0.
Предположим, что данный резонатор должен обеспечивать расходимость излучения на уровне 5 мрад. Тогда, пренебрегая возможными аберрациями линзы Р, из формулы (2.77) следует, что оптическая длина резонатора В должна быть не менее 0,5 м. При этом число Френеля 7V ~ 12, с ~ 75. Из формулы следует, что при таком значении параметра с реализуется многомодовый режим генерации. Причем в генерации будут присутствовать моды, порядок которых не превосходит величины 2р + I < 25.
Для получения одномодового режима, необходимо уменьшить значение параметра с до величины со — 4,7 (2.64). Этого можно достичь либо удлинением схемы до величины В « 2ttRq/co ~ 8,3 м, что весьма затруднительно с практической точки зрения, либо при разумном размере резонатора В ~ 2 м уменьшить размер апертуры Rq до величины R' к, усоЛВ/2тг ~ 1,5 мм. При этом расходимость излучения составит во ~ 0,75 мрад., потери основной моды, согласно формуле (2.70) <^оо = 0,74%, aoi — 10%, а2о — аю — 40%. Легко найти и остальные параметры выходного излучения.
На этом закончим рассмотрение свойств конфокального резонатора. Отметим лишь, что в процессе анализа конфокального резонатора были весьма бегло продемонстрированы некоторые математические приемы, которые часто используются и при анализе резонаторов общего вида. Имеется в виду сведение интегрального уравнения к дифференциальному, составление и решение соответствующего уравнения для собственного значения резонатора (2.67).
§ 2.5. Методы решения интегрального уравнения в теории резонаторов
Интегральные уравнения, встречающиеся в теории резонаторов, относятся к классу линейных однородных уравнений второго рода. Известны многочисленные методы приближенного решения таких уравнений [48]. В этом параграфе коротко рассмотрим те из них, которые наиболее часто применяются при расчетах резонаторов. Причем не будем ограничиваться лишь формальным изложением сути метода, но там, где это будет уместно, обсудим также их физический смысл и наиболее интересные результаты, полученные с их помощью.
Начнем с метода простой итерации. Это наиболее популярный в теории резонаторов метод решения интегральных уравнений. Суть
156
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
метода простой итерации решения уравнения (2.18) щщ = Ь(щ) (г = 0,1,2,...) состоит в нахождении последовательности функций
ф(п+1) =Щ(п)^ (2_79)
являющихся приближением к искомому решению уравнения (2.18). Причем начальное (нулевое) приближение ф^ может быть выбрано произвольно, что и делается, если нет каких-либо сведений о характере искомой функции. Однако, исходя из физической постановки задачи, такие априорные данные можно определить, что позволяет удачным выбором начального приближения, ускорить итерационный процесс, т. е. уменьшить количество приближений в процессе решения. В качестве приближенного решения принимается функция ф^ при достаточно большом п. На практике признаком близости получаемых приближений к искомой функции является малость величины разности двух следующих друг за другом итераций:
^ ^ < г, (2.80)
где г — малая величина, определяемая точностью решаемой задачи, а ф — норма функции ф, соответствующая мощности пучка
= J с1зфф*
Интегрирование проводится по площади отверстия ограничивающей апертуры. Потери моды определяются модулем собственного числа уравнения (2.18) \щ\. Приближенное значение \щ\2 находят по формуле
|2
\\фМ\\ .
при достаточно большом п, т. е. при таком п, при котором выполнено условие (2.80).
Из физических соображений очевидно, что использование метода простой итерации должно приводить к точному решению при п —> —У оо, поскольку он фактически моделирует установление поперечной структуры поля в резонаторе по мере обходов волной резонатора. Действительно, физический смысл соотношения (2.79) состоит в том, что оно связывает распределение поля до ф^ и после ф^п+1) обхода резонатора. Поэтому, запуская в резонатор пучок с поперечным распределением амплитуды ф^\ после первого обхода резонатора получим ф^ = Ь(ф(°^), после второго ф^ = Ь(ф^) и т.д. Поперечная структура пучка меняется и стремится к одной из поперечных мод
2.5. Методы решения интегрального уравнения
157
резонатора, описываемых собственными функциями оператора L, т. е.
—У щ при гг —у оо.
Количество шагов, необходимое для получения решения с заданной точностью, очевидно, должно быть связано с дифракционными потерями поля. Чем выше потери, тем быстрее устанавливается в резонаторе модовая структура и тем меньше шагов необходимо сделать в итерационной процедуре. Это легко видеть из выражения (2.20). Если потери мод велики, велика и разница между потерями соседних мод. Следовательно, относительная разность членов ряда (2.20) быстро возрастает с ростом п. При достаточно большом п
