Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Будем исходить, для определенности, из схемы плоско-сферическо-го конфокального резонатора (рис. 2.7). Предположим, что плоское зеркало является полупрозрачным и служит для вывода излучения из резонатора. Исследуем дальнопольную картину излучения.
Для этого воспользуемся уравнением (2.17). Распределение амплитуды р, /-ой моды на расстоянии z от выходного зеркала имеет вид:
277 Ro
vpi(zi,<pi) = ~-^Apietkz J dip J drrupi(r,ip) x
exp ji [r2 + v\ — 2rr\ cos((p — ^i)]|,
о о x
где Api — амплитуда p, l-ой моды.
Представляя функции vpi и upi в виде (2.46), проводя интегрирование по азимутальному углу (§2.2) и переходя в интеграле к безраз-
152
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
мерной переменной t = г/До? получим Fpi(r1) =
= Apt ^ (-*)*+1eifcV 2~zrl J dttQpi(t) ехр(г M t2) J( ^ ^
0
где
%Kn,v,} = FtKn){“tC ¦
Распределение поля Fpi будем искать в дальней зоне. Поэтому введем вместо г\ угловую переменную a — T\jz. Заметим также, что при больших г До / А экспоненциальным членом в подынтегральном выражении
можно пренебречь. С учетом этого имеем
1
Fpl(a) = Apl М (-iy+'e^e^*2/2 JdttQp^JtikRoat).
О
Приводя подынтегральную функцию к виду, аналогичному подынтегральному выражению в уравнении (2.55) и преобразуя полученное соотношение с учетом (2.54) и (2.55), получим:
Fpl(a) = Apl ^ H)'+1eifcV^“2/2^Qp/(|-), (2.73)
где
и с — 27tN — параметр Френеля исследуемого резонатора.
Формула (2.73) дает дальнопольное распределение излучения р, 1-й моды конфокального резонатора. Распределение плотности мощности излучения 1(a) легко найти, учитывая, что 1(a) = ko\Fpi\2 (2.21). Из (2.73), с учетом (2.56), (2.57) и (2.45), находим
1(a) = k0\Apl\2^ y72plQ2pl^y (2.75)
где В — элемент лучевой матрицы обхода резонатора, его оптическая длина. Зная асимптотику собственных функций конфокального резонатора г/jpi (2.62) и учитывая (2.54), с помощью выражения (2.75) легко найти приближенное распределение мощности р, I-ой моды резонатора в дальнем поле.
Исследуем расходимость излучения р, I-ой моды. Используя (2.21), имеем выражение для мощности излучения сосредоточенной внутри
§2.4- Конфокальный резонатор
153
угла а = Vо
27Г OoZ во
Рво = ко j difi J dr I r i\Fpi (r i)\2\ cos l(pi\2 = koirz2 j da-a\Fpi\2.
0 0 0
Учитывая (2.56), (2.73), а также условие нормировки (2.58), последнее соотношение можно привести к виду
Рво = котгК^А2^.
Легко показать, используя (2.21), (2.46) и (2.58), что величина
ko^R20A2pl
определяет мощность излучения р,1-ой моды Pq. Поэтому доля мощности, сосредоточенная внутри угла во равна
71 = = 7^- (2-76) Поскольку дифракционные потери моды api = 1 — 7^, то 77 = 1 — api. Мода только тогда возбуждается в резонаторе, когда ее потери не слишком велики и компенсируются усилением в активной среде. Поэтому, обычно, в генерации принимают участие моды, для которых потери малы api С 1 и, следовательно, доля мощности таких мод в угле #о близка к единице. Поскольку это справедливо для мод любого порядка, то можно сделать вывод о том, что излучение конфокального резонатора сосредоточено в угле Оо, который, с учетом (2.45), (2.57) и (2.74) равен
во = ^ ¦ (2.77)
Это соотношение позволяет найти расходимость излучения лазера с конфокальным резонатором, не детализируя модовый состав излучения, поскольку она справедлива, как для одномодового излучения, так и для излучения, состоящего из смеси поперечных мод, если предположить, что расходимость многомодового пучка определяется расходимостью моды максимального порядка.
До сих пор мы рассматривали резонаторы с круглой ограничивающей апертурой. Однако столь же подробные сведения о структуре мод конфокального резонатора можно получить и для случая прямоугольных апертур. Мы не будем останавливаться на этом случае подробно, так как для этого пришлось бы практически слово в слово повторить проведенный анализ. Отметим лишь, что уравнение для мод конфокального резонатора с прямоугольной апертурой распадается на систему двух несвязанных интегральных уравнений. Одно уравнение для функции Fm(x) зависящей только от ж, другое для функции Fn(y) зависящей от у. Поле на апертуре описывается выражением
Umn{%iy) = Fm(x) ’ Fn(y).
154
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Собственные числа резонатора ктп = где г)т и 7П — собствен-
ные числа интегрального уравнения для ж-й и у-й компоненты поля, соответственно. Потери моды ш, n-го порядка
&тп = 1 |TmTn| = 1 (1 ^т)(1 &п) ч
где ат,„ = 1 - |7т,„|2.
Приведем ряд выражений, являющихся аналогом формул (2.69),
(2.70) и (2.72) для случая конфокального резонатора с прямоугольной апертурой
ат = 4v/7r ^ 8mcm+1/2e“2c [l + o(i)],
ат = 8m(c - l,4)m+1/2e-2c,
ml
vmn = ^jr[q + ^(m + n + 1)].
Параметр с = 27r7V = 2ira2 /\В, где a — размер ограничивающей апертуры вдоль оси ж, если мы ищем аш, или вдоль оси у, если ап.
В заключение покажем, как можно использовать полученные результаты при анализе конкретных схем. Рассмотрим резонатор твер-
дотельного лазера (рис. 2.12, а),
в котором АЭ цилиндрической формы с радиусом Rq = 2,5 мм расположен вблизи плоского выходного зеркала. В гл. 4, посвященной рассмотрению резонаторов твердотельных лазеров, будет показано, что индуцированные под действием накачки оптические неоднородности в АЭ могут быть описаны в виде линзы с оптической силой Р. Таким образом, схему на рис. 2.12, б можно рассматривать в качестве модели исследуемого резонатора. Для достижения стабильных про-Рис. 2.12. Конфокальный резонатор странственных характеристик вы-твердотельного лазера ходного излучения параметры
