Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициенты мнимой части W равны
а" = p[—(z + zi sh2 Ф — z2 ch2 Ф) sin ( + (b\ sh2 Ф — b2 ch2 Ф) cos ?], b" = p[—(b2 — b\) sin ( + (zi — z2) cosC] вИФсИФ,
с" = p[—(z + 2:2 sh2 Ф — zi ch2 Ф) sin ( + (b2 sh2 Ф — b\ ch2 Ф) cos Q.
В соответствии с (1.165) мнимая часть W приводится к диагональному виду при повороте системы координат вокруг оси 2 на угол 77, определяемый соотношением
Таким образом, амплитудное распределение, определяемое мнимой частью выражения (1.170), как и линии кривизны, испытывает медленный поворот вокруг оси z при распространении гауссова пучка
(1.161) вдоль оси 2 в соответствии с (1.174).
Соотношения (1.173) и (1.174) позволяют дать физическую интерпретацию параметра Ф. Действительно, из соотношения (1.173) видно, что при очень малых Ф, угол поворота ? будет незначителен практически на всей оси 2 за исключением небольших отрезков вблизи тех z,
§1.13. Гауссов пучок с двумя системами главных осей
97
где (3 + ( = 7г/2 и (3 + ( = — 7г/2; на этих небольших отрезках ? испытывает быстрое изменение в сумме на тг. Аналогично, угол поворота г] при очень малых Ф, согласно (1.174), изменяется в сумме на — 7г вблизи тех значений 2, где /? + ? = 0и/? + ? = 7г. Таким образом, параметр Ф определяет размеры той области на оси z, где в основном происходит поворот линий кривизны волнового фронта и осей амплитудного распределения пучка.
Ввиду важности величины ?, найдем ее зависимость от z. Так как
то
или
z — Z\ — ib\ — л/{z — zi)2 + Ъ2 exp f—i arctg ———),
V z — zi J
ib2 = yj(z - z2)2 + b\ exp arctg ?
6 i * b2
Qi =
q2 = z - z2
( = arctg
tgC =
+ arctg ¦
Z — ZI Z — Z2
(62 + bi)z - (biz2 + 6221)
(1.175)
(z - zi)(z - z2) - bib2
Первое из этих соотношений показывает, что при изменении z от —00 до +оо два первых слагаемых в его правой части монотонно убывают от 7г до 0. Следовательно, можно считать, что при изменении 2 от —оо до +оо величина ( монотонно убывает от тг до — 7г.
Согласно (1.175) tg( равен нулю при 2 = —оо, 2 = +оо и в точке, где равен нулю числитель в правой части (1.175), т. е. при biz2 + b2zi
z =
61 + 62 ’
в бесконечность же tg ( обращается в точках
Рис. 1.20. Зависимость tg? от продольной координаты z
z' — у \(zi + z2) + л/(zi — Z2)2 + 46162 ], y/{z\ - Z2)2 +461&2]
z" - 9 \izl + ^2)
являющихся корнями знаменателя в (1.175). Следовательно, зависимость tg( (1.175) от z имеет вид, изображенный на рис. 1.20, и величина ( изменяется в следующих пределах (нетрудно показать, что z" <z < zl):
1) при —00 < 2 < z", 7Г > ( > 7г/2,
2) при z" < z < 2, 7г/2 > ( > О,
3) при z < z < z' , 0>С> —тг/2,
4) при z1 < Z < +00, — 7Г/2 > С > —7г.
7 В.П. Быков, 0.0. Силичев
98
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Таким образом, характер изменения величины ( при распространении пучка вдоль оси z ясен и можно проанализировать зависимости углов ? и г] от z. Для этого обратим внимание, что согласно (1.173) нули и бесконечности тангенсов 2? и /3 + ( совпадают; поэтому ясно, что угол ? изменится на 7г, когда ( изменяется на 2тт, хотя скорость изменения ? и ( с z различна. Аналогично, угол ту, согласно (1.174), также изменится в целом на 7г, однако если ? увеличивается с г, то г] уменьшается. Следовательно, линии главных кривизн и оси амплитудного распределения разворачиваются в разные стороны по мере распространения гауссова пучка вдоль оси z.
Приведем соотношения, определяющие главные радиусы кривизны волнового фронта в зависимости от продольной координаты z:
Аналогичные соотношения имеют место для главных полуосей эллиптического поперечного распределения амплитуды гауссова пучка
Выясним теперь, как матрица Т, ас нею и выражения V и W (1.164), изменяются с возрастанием координаты z. Для этого напомним, что матрица Т связана с матрицей Р соотношением
и матрица U является матрицей поворота (1.166).
В § 1.6 преобразование (1.178) так и истолковывалось — как обусловленное поворотом поперечной координатной системы на некоторый угол Ф. Однако теперь такое истолкование неправомерно, поскольку величина Ф является комплексной. Преобразование (1.178)
(1.176)
где
D = {{z-z1Y+hl\[{z-z2f + bll F = [~(2z - z\ - z2) cos С - (bi + b2) sinC],
G = [(z - Zlf + (61 - b2)2][sh2 2Ф + cos2(/J + C)].
(1.161):
(1.177)
где
F' = \{2z — z\— z2) sin C~ (bi+ b2) cos ?],
G' = [(z - Zlf + (61 - 62)2][sh2 2Ф + sin2(/? + 0].
T = г7(Ф)Р[/“1(Ф), причем матрица P имеет простой вид
(1.178)
§1.13. Гауссов пучок с двумя системами главных осей
99
следует рассматривать как некоторое математическое соотношение между матрицами Т и Р.
Важно, что соотношение (1.178) и, в частности, величина Ф не зависят от продольной координаты z, от которой зависят коэффициенты матриц Т иР;т.е. при другом значении z' = z + L будет справедливо соотношение
при той же, что и в (1.178), величине Ф.
Переход к матрице Р в соответствии с (1.178) или (1.179) удобен в том отношении, что матрица Р является простой и закон ее изменения с увеличением z может быть легко установлен. Действительно, пусть Р' = P(z1 — z + L); тогда
Следовательно, при распространении пучка вдоль оси z на расстояние L матрица Р изменяется в соответствии с матричным равенством
