Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
(1.161), у которого, как установлено выше, линии кривизны развернуты на некоторый угол относительно главных осей амплитудного рас-
94
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
пределения. Как и у простого гауссова пучка, у пучка (1.161) можно выделить область сходимости, т. е. область, которую волновой фронт проходит ранее области перетяжек, где лежат точки z = z\ — b\ и z = = z2 — b2. Пусть для простоты фронт пучка в области сходимости близок к цилиндрическому и амплитудное распределение на этом фронте повернуто на некоторый угол относительно оси цилиндра (рис. 1.19). Как уже отмечалось, в области сходимости волновой фронт, распространяясь, изменяется в соответствии с законами геометрической оптики. Это означает в рассматриваемом случае, что он остается цилиндрическим и сходится к общей оси всех цилиндрических фронтов.
При таком изменении цилиндрического волнового фронта амплитудное распределение постепенно сжимается вдоль оси х и остается неизменным вдоль оси у. Как легко видеть из рис. 1.19, это приводит к повороту главных осей амплитудного распределения вокруг оси z.
Рис. 1.19. Поворот амплитудного распределения при распространении вдоль оси z гауссова пучка с двумя системами главных осей
В свою очередь, сжатие амплитудного распределения приводит к возрастанию роли дифракции и появлению тенденции к расходимости. В первую очередь, эта тенденция проявится в направлении наибольшего сжатия, т. е. вдоль одной из главных осей амплитудного распределения. Так как эта ось повернута на некоторый угол относительно линий кривизны волнового фронта, то дифракционная деформация этого фронта наложится на уже имеющееся его искривление и эффективно это приведет к повороту линий кривизны фронта вокруг оси z.
Таким образом, имеющейся в пучке (1.161) разворот линий кривизны волнового фронта относительно главных осей амплитудного распределения (например, при z — — оо) приводит к тому, что при рас-
§1.13. Гауссов пучок с двумя системами главных осей
95
пространении этого пучка вдоль оси z как линии кривизны волнового фронта, так и главные оси амплитудного распределения будут испытывать поворот относительно оси z, соответственно и угол между линиями кривизны волнового фронта и главными осями амплитудного распределения будет изменяться. Как будет видно далее, способность амплитудного и фазового распределений к повороту относительно оси z при распространении пучка (1.161) вдоль нее представляет собой важное свойство этого пучка, позволяющее теоретически описывать моды некоторых резонаторов.
Обратимся теперь к количественному исследованию гауссова пучка (1.161). Как нетрудно убедиться, матрицы U (1.166) обладают свойством
и(Ф1)и(Ф2) = U($i + Ф2);
поэтому, умножая (1.163) слева на U(—Ф'), где
Ф' = Re Ф,
и справа на ?/_1(—Ф'), параметр Ф можно сделать чисто мнимым. Далее, по существу без ограничения общности, можно в пучке (1.161) параметр Ф считать чисто мнимым; будем считать его равным гФ. Тогда матрица R будет образована элементами
ch2 Ф sh2 Ф , /1 1 \ . , , , , sh2 Ф ch2 Ф
а—---------------, Ь = (---------)% sh Ф ch Ф. с—----------1------,
qi Q2 \qi q2/ qi q2
где величина Ф теперь вещественна. Так как зависимость q\ и q2 от продольной координаты z известна, а следовательно, известна и зависимость коэффициентов а, 6, с от z, то может быть найдена зависимость от z величин, характеризующих гауссов пучок (1.161), его поперечных размеров wa , и>в ? главных радиусов кривизны волнового фронта Rx, Ry, углов ?,77. Для этого выражение
S(x,y) = ах2 + 2Ъху + су2 = (С^ Ф ^)х2 +
V qi q2 /
/ 1 1\о-илчилч , { s^2 Ф , ch2 Ф \ 2
+ (--------) 2г sh Ф ch Фху + (--------------------1-) у ,
\qi q2/ \ qi q2 /
входящее в (1.161), приведем к общему знаменателю:
S = —— [(z + zi sh2 Ф — z2 ch2 Ф + ibi sh2 Ф — ib2 ch2 Ф)ж2 + qiq2
+ 2i(zi — z2 + ib\ — ib2) sh Ф ch Фxy +
+ {z + z2 sh2 Ф — z\ ch2 Ф + ib2 sh2 Ф — ib\ ch2 Ф)y2] (1.170)
и, представив (gi^)-1 в виде
{41Ч2У1 = p{cos( - isinQ,
96
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
разделим в S вещественную V и мнимую W части. Тогда, коэффициенты вещественной части V примут вид
а1 = p[(z + zi sh2 Ф — z2 ch2 Ф) cos ( + (Ъ\ sh2 Ф — b2 ch2 Ф) sin ?],
b' = p[(b2 — b\) cos ( + (zi — z2) sin (\ sh Ф ch Ф,
d = p[(z + 2:2 sh2 Ф — zi ch2 Ф) cos ( + (b2 sh2 Ф — b\ ch2 Ф) sin Q.
В соответствии с (1.169) вещественную часть V можно привести к диагональному виду, если систему поперечных координат повернуть вокруг оси z на угол ?, определяемый соотношением
tg 2? = ;;2-M + (*2ri)tgc Ш2Ф (1Л71)
6 4 (b2-bi)tg<-(22-21)
Если ввести обозначение
tg/J=^LZ^, (1.172)
Z 2 — Z1
то этому выражению можно придать следующий вид:
tg 2? = — tg 2Ф • tg(/3 + Q. (1.173)
Так как величины Фи /3 являются константами (параметрами) пучка, то угол 2? зависит от 2 только через переменную ?, зависимость которой от z будет ниже исследована.
Таким образом при распространении пучка (1.161) вдоль оси 2 линии кривизны волнового фронта (именно они являются главными осями вещественной части выражения (1.170)) испытывают поворот вокруг оси 2 в соответствии с (1.171).
