Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
ДЕ-1Ц=0 (1.153)
при дополнительном условии
div Е = 0.
Как неоднократно указывалось, гауссов пучок в скалярной форме, использовавшейся в предыдущих параграфах, описывает одну, главную компоненту электрического поля. Пусть такой компонентой является Ех = ue~lujt. Тогда для и согласно (1.153) имеем уравнение
Аи + к2и = 0. (1.154)
В задачах, связанных с лазерными резонаторами, существует об-
стоятельство, позволяющее сильно упростить исследование задачи. Это обстоятельство — параксиальность лазерного получения. Как известно из эксперимента, лазерное излучение всегда сосредоточено вблизи оси пучка излучения и мало расходится при распространении вдоль этой оси; это свойство лазерного пучка и определяют словом «параксиальность». В теоретических исследованиях оно находит свое выражение в так называемом параксиальном приближении. Это приближение позволяет перейти от уравнения Гельмгольца (1.154) к параболическому уравнению, точным решением которого и является гауссов пучок (1.88).
Из оптики известно, что, если волна ограничена в поперечном направлении размером а А, то эта волна обязательно расходится, при этом минимальная угловая расходимость, которой можно добиться, равна
До? ~ —.
а
Следовательно, волна увеличит свои поперечные размеры примерно вдвое на длине
b = ка2;
длина b, таким образом, является характерным размером изменения амплитуды волны в продольном направлении. Действительно, если
§1.12. Гауссовы пучки — решения уравнений Максвелла
89
волна при распространении на расстояние Ъ расходится в двух взаимно перпендикулярных поперечных направлениях, то площадь ее волнового фронта возрастает в четыре раза, интенсивность на этом фронте во столько же раз уменьшится, а амплитуда уменьшится в два раза.
Принимая во внимание медленное изменение амплитуды в продольном направлении, решение волнового уравнения (1.154) будем искать в виде
и = г? (ж, у, z)elkz; (1.155)
в этом выражении основная, быстропеременная часть волны выделена в виде экспоненциального множителя, а функция v(x,y,z) играет роль амплитуды волны, т. е. величины, у которой характерный масштаб изменения в поперечном направлении равен а, в продольном направлении — b = ка2.
Подставляя (1.155) в (1.154), приходим к уравнению
d2v d2v j dv d2v ( ,
+ л“2 + 2гк IT + я“2 = °* (1.156)
ox2 oy2 oz oz2
Учитывая то, что было сказано о поперечном и продольном масшта-
бах, нетрудно оценить производные v:
dv dv v dv v
д^~д^~а^ Yz~ Ы2'
Так как эти оценки справедливы не в одной точке, а во всей области, занятой волной, то для вторых производных имеют место оценки
d2v ^ d2v ^ v d2v ^ v
дх2 ~ ду2 ~ а2 ’ dz2 ~ к2а4 '
Соответственно четыре члена, фигурирующие в уравнении (1.156) имеют оценки
2 ?'к —
„9’ „9’ 1~~9
а2 ’ а2 ’ ка2 ’ к2а4 ’
как легко видеть, третий член в этом уравнении одного порядка с первыми двумя, а четвертый член в (ка)2 раз меньше первых трех. Так как в интересующих нас решениях волнового уравнения а Л, т. е. ка 1, то четвертым членом в уравнении (1.156) можно пренебречь. Таким образом приходим к параболическому уравнению
S + 0 + 2^ = 0’ (1л5?)
ИЛИ
dv
A±v + 2 ik — = 0.
oz
Покажем теперь, что астигматичный эрмит-гауссов пучок является точным решением параболического уравнения (1.157) и, соответственно, приближенным решением волнового уравнения (1.154). Как
90
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
указывалось выше, параболическому уравнению должна удовлетворять не сама волна, а ее амплитуды, т. е. в исходной волне (1.88) необходимо опустить экспоненциальный множитель elkz. Тогда получим следующее выражение:
v(x, у, z) = Gvn(x, z)vm(y, z), (1.158)
где
vn(x, z) = — 1 Hn (—) exp\ib^.---ifn + arctg Z ,Zl\,
V ’ 7 $/(Z-Zi)2 + b2 ^ V 2) 6 bi J’
(1.159)
^ = ------jfeh--’ qi=z-z1-ib1 (1.160)
и vm(y,z) получается из vn(x,z) посредством замены
X —> у, Z\ —> Z2, b\ —> &2, П —У 771, W\ —> W2-
Подставив (1.158) в параболическое уравнение (1.157), получим
(& + “1гЬ + Ч^ + 2,‘1^)=0-
Теперь достаточно показать, что первая скобка при подстановке в нее (1.159) обращается в нуль. Полиномы Эрмита подчиняются уравнению
Я"(0-2?Я; + 2пЯ„(?) =0,
определяя отсюда #"(?), получаем для второй производной vn(x,z) по х выражение
^=[(^+ 2гкх\н' _ (Ц _ ** + к^)н]Е(х,г),
дх2 L Vw\q ) \wf q q2 J J
где
+ Ч|г - <’*+ i)
Производная vn(x,z) no 2: равна
dvn Г xw jj, ( z ikx2 ./ 1\ b \ „1 ,-w ч
ж = + w+т+
где
Г2 = (Z-Zl)2+&2<
Нетрудно убедиться, что, если производную по z умножить на 2ik и сложить со второй производной по ж, то все члены сократятся. Следовательно, эрмит-гауссов пучок (1.158) удовлетворяет параболическому уравнению (1.157).
Нетрудно убедиться также, что все вычисления останутся в силе и в том случае, когда величины zi и Ь\ комплексны и, соответственно,
§1.13. Гауссов пучок с двумя системами главных осей
91
комплексна величина w\ (1.160). Для этого достаточно учесть, что соотношение
X + iY = л/Х2 + Y2 exp[i arctg{Y/X)} справедливо и при комплексных X и Y.
§ 1.13. Гауссов пучок с двумя системами главных осей
В настоящем параграфе будет продолжено изучение астигматичного гауссова пучка, начатое в § 1.6, при этом все внимание будет уделено случаю, когда параметр Ф астигматичного гауссова пучка является комплексной величиной. Подобные пучки обладают интересными свойствами и в ряде лазерных резонаторов именно они оказываются основными модами.
