Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Для линейных резонаторов (нормальное падение) оно несущественно; можно пользоваться любой матрицей — дополнительный множитель ег7Г сократится, так как матрица отражения от зеркал встретится в этом случае обязательно дважды.
3. Спектр резонатора, рассчитываемого матричным методом (см. п. 1) определяется формулой
Рис. 1.18. Орты систем координат в падающем и отраженном пучках
с Г7 п + 1/2 А\ + D
vimn = Y I1 Н--------2тг arCC0S---------
1 ш + 1/2 А2D2]
Н--- —— arccos¦ 1
2 2тг 2 J
(1.151)
где I — продольный и ш, п — поперечные целочисленные индексы мод, L — полная оптическая длина пути, проходимого пучком в резонаторе до замыкания, щтп — частота (Гц) моды с индексами I, ш, щ и ?*1,2 — диагональные элементы лучевых матриц резонатора для двух плоскостей (симметрии и перпендикулярной к ней).
4. Для многих резонаторов, в частности для кольцевых, важным является состояние поляризации генерируемого излучения. Состояние поляризации излучения определяется резонатором, наличием в нем
86
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
анизотропных элементов. В кольцевых резонаторах такие элементы неизбежно присутствуют, так как диэлектрические зеркала при наклонном падении на них излучения обладают анизотропными свойствами.
Расчет поляризационных характеристик резонатора производится с помощью метода Джонса, являющегося также матричным методом и имеющего много общего с матричным методом расчета мод. Каждый оптический элемент резонатора описывается своей поляризационной матрицей (сводка таких матриц дана в табл. 1.1). Поляризационные матрицы, описывающие оптические элементы резонатора, располагаются справа налево в том порядке, в каком их последовательно проходит гауссов пучок, начиная с некоторого исходного сечения. Произведение этих матриц — матрица
р — (ai1 аи\
\«21 <322 J
определяет состояние поляризации моды резонатора в исходном сечении. Состояние поляризации моды в других сечениях может быть иным. Собственные значения этой матрицы равны
— коэффициенты затухания колебаний резонатора соответственно первой и второй поляризации, обусловленного наличием в резонаторе поляризаторов (имеется также затухание, обусловленное изотропными элементами). Разность фаз
определяет разность частот Av мод первой и второй поляризации (см.
где L — оптическая длина резонатора.
Собственные векторы матрицы Р определяют состояние поляризации мод резонатора. Таких векторов два:
Если отношение компонент этих векторов представить в виде
то эллиптическая в общем случае поляризация будет характеризоваться следующими параметрами: эллиптичностью, т. е. отношение (
М,2 — ^ [аи + а22 у/(ап + CL22)2 + 4Д ],
где А — детерминант матрицы Р. Величины
71,2 = ln(l/|Ai,2|)
A ip = ifi - ip2 = arg Ai - arg A2
§1.10)
§1.12. Гауссовы пучки — решения уравнений Максвелла
87
малой полуоси эллипса к большой его полуоси
С = tg
\ arcsin(iT^ sine).
12 V1 + /32
и азимутальным углом а, определяемым соотношениями
sin 2а = 2(3 cos?[(l — /З2)2 + 4(З2 cos2 ?]_1//2,
cos 2а = (1 — /32)[( 1 — ^2)2 + 4^2 cos2 ?]_1//2.
При ? > 0 — эллиптическая поляризация имеет правое вращение, при С < 0 - левое. При а > 0 большая ось эллипса отклонена от оси х в сторону оси у, при а < 0 — в противоположную сторону.
Таким образом, матрица Р и следующие из нее параметры 7^2, ^1,2, /?1,2? ?1,2 полностью определяют состояние поляризации моды резонатора в исходном сечении. При необходимости отыскания состояния поляризации в другом сечении резонаторного контура матрицу Р следует подвергнуть преобразованию
PH0B = UPU-\ (1.152)
где матрица U описывает изменение состояния поляризации при переходе от старого сечения к новому, и далее действовать в соответствии с теми же самыми соотношениями. Отметим, что величины 7^2 и ^1,2, характеризующие резонатор в целом, при этом не изменятся, поскольку они выражаются через след и детерминант матрицы Р, не изменяющиеся при преобразовании (1.152), изменятся лишь /3\р и ?i?2, описывающие состояние поляризации в конкретном избранном сечении резонаторного контура. Тем самым исследование состояния поляризации мод резонатора закончено.
На этом расчет резонатора матричным методом заканчивается. Еще раз отметим, что расчет резонаторов с помощью правила ABCD или, что то же самое, матричным методом чрезвычайно эффективен и широко применяется. Резонаторы, к которым этот метод неприменим, рассматриваются в § 1.13 и § 1.14.
§ 1.12. Гауссовы пучки — решения уравнений Максвелла
До сих пор гауссовы пучки рассматривались нами как некоторая данность и анализировались их свойства. Покажем теперь, что эти пучки являются приближенными решениями уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла для свободного пространства имеют вид
, 1 0Н , „ 1 дв
rot Е =----, rotH = —-J-,
с ot с ot
div Е = 0, div Н = О,
88
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Вводя, как обычно, вектор-потенциал
„ 1 дА и А
Е =------—, Н = rot А
с ot
при дополнительном условии
div А = О,
приходим к волновому уравнению
Л Л 1 д2А ДА - — —— = 0.
с2 ot2
Дифференцируя его по времени и умножая на (—1 /с), получим
