Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
6 В.П. Быков, О.О. Силичев
82
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
но учесть какие-то поправки, вносимые им, или, наконец, что нужно произвести расчет резонатора заново, например, методом интегрального уравнения с существенным учетом негауссовости элемента с самого начала. (Этот случай, кстати, означает, что резонатор обладает относительно большими потерями, и поэтому, возможно, следует не проводить дальнейшие расчеты, а просто изменить схему резонатора, если только большие потери не являются целью.) Исходный расчет резонатора матричным методом без учета негауссовости элементов в любом случае дает хорошую ориентировку.
2. Расчет резонатора матричным методом производится независимо в плоскости симметрии и плоскости, перпендикулярной к ней, проходящей через ось пучка. В кольцевых резонаторах может быть несколько плоскостей, перпендикулярных плоскости симметрии и проходящих через ось пучка. В этих случаях, чтобы не прибегать к громоздким оборотам, будем говорить просто о плоскости симметрии и перпендикулярной плоскости.
В каждой из плоскостей элементам резонатора, образующим его, сопоставим 2x2 матрицы (табл. 1.2). Расположим эти матрицы справа
Таблица 1.2
№ Оптическая система Лучевая матрица
1 1 1 И L Н 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 (-)
2 (-1/F l)
3 г‘В ¦ 11 FVl2 (-1)f i -Ll/f)
4 Г«- Li 4* L2 —fi То И Fi V F2 v 1 2 ( i-? Ll+L2“bJ 1 f2 Fi F2 Fi F2 1 L2 L\L2 у р1р2 F, F2 у
§1.11. Расчет резонаторов матричным методом. Резюме
83
Таблица 1.2 (продолжение)
№
Оптическая система
Лучевая матрица
п — 1
п — 2
1 L/п
О 1
1 п = 1 | 1 ^ L > 1 2 П = По - -п2г 1 1 I I W.
1 1 11 1 •* 1 I 2
XR
—f— \
—
• г /^2~\ SinLJ-----
у по у/П0П2
/------ ' т п 2 т 712
— wnon2 smLJ— cos Lx —
V У n° V п°/
г /П2
cos Lx —
V no
/-1 о
^2/Д -1
в плоскости падения
1 О
2/(Rcos'y) 1
осевой луч
в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения
1 О
2 cos 7/Я 1
10
в плоскости падения
sin??
П2
COS #2
(
COS #1 П1 COS #1 — П2 COS #2 V R COS $1 COS $2
COS #2 '
11
в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения
П2
П\ COS $1 — П2 COS $2
R
sin#i
sin #2
п 1
П2_
щ
84
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
налево в том порядке, в котором поле пучка проходит эти элементы, начиная с некоторой исходной реперной плоскости, перпендикулярной оптической оси резонатора. В качестве реперной следует выбрать ту плоскость, в которой поперечное распределение поля по тем или иным причинам наиболее интересно, хотя, в принципе, в качестве реперной можно взять любую плоскость, перпендикулярную оптической оси резонатора. Далее перемножаем матрицы оптических элементов в соответствии с обычным правилом и получим матрицу, описывающую резонатор в избранной плоскости (в плоскости симметрии или в перпендикулярной плоскости) и отнесенную к исходному реперному сечению. Элементы А, Я, С, D этой матрицы выражены через параметры элементов резонатора.
Далее правило ABCD для резонатора
_ Aq + В q ~ Cq + D
(см. (1.63)) позволяет найти комплексный параметр
q=2^HA~D)±iV*4A + W]
гауссова пучка, являющегося основной модой резонатора, в реперном сечении и, пользуясь соотношениями (1.16),
R = [Re(l/g)]_1, kw2 = [Im(l/g)]_1 (1.149)
— радиус кривизны и поперечный размер моды в том же сечении. Если элементы матрицы М вещественны, то можно также воспользоваться соотношениями (1.67)
* = -3= ^-{л[вт' (1Л50)
выражающими R и w непосредственно через элементы матрицы М. Используя правило ABCD для незамкнутых оптических систем
Avq + Bv
Q =
можно наити комплексный параметр q в новом реперном сечении, величины Ау, В у, Су, Dy — элементы матрицы V, описывающей переход от исходного реперного сечения к новому. Далее по тем же правилам (1.149) и (1.150) можно найти R и w в новом сечении.
Положение перетяжки моды резонатора можно найти, если с помощью оператора трансляции (1.20) перейти к такому реперному сечению, в котором равны друг другу диагональные матричные элементы матрицы Мнов — Апов = LW Для отыскания поперечных размеров высших мод резонатора, не содержащего гауссовых диафрагм, следует воспользоваться соотношениями (1.86):
wn = wy/2n + 1,
§1.11. Расчет резонаторов матричным методом. Резюме
85
где w — размер основной моды и п — поперечный индекс моды в соответствующей плоскости (симметрии или перпендикулярной) и в рассматриваемом поперечном сечении. Таким образом, поперечные характеристики полностью определены.
Обратим внимание на одну особенность матриц, приведенных в строках 8 и 9 табл. 1.2. В падающем луче орты системы координат расположены, как показано на рис. 1.18, при-
жа так, что система координат правая. Естественно считать, что при отражении орт еу не меняется, т. е. еу = е'у. Орт e'z для единообразия всегда направлен по ходу луча.
Тогда, если систему координат по-прежнему считать правой, то орт е'х оказывается направленным, как показано на рис. 1.18. Как видим, при 'д —> 0, т. е. когда падение луча приближается к нормальному, орт е'х не переходит в орт ех. Из-за этого лучевая матрица для ж-направления не переходит в лучевую матрицу для ^/-направления при 'д —> 0, как это видно из строк 8 и 9 табл. 1.2, хотя при нормальном падении оба направления, казалось бы, становятся равноправными. Как видим, неравноправие здесь обусловлено выбором системы координат. При расчете кольцевых резонаторов это обстоятельство нужно аккуратно учитывать.
