Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что на низких частотах передаточная функция Ki (со) пропорциональна cos I9 а /С2(о>) ~sin ^i/. Поэтому для низкочастотных сигналов основной вклад в акустический отклик дают резонансы первого типа. Когда огибающие передаточных функций для колебаний первого и второго типов станут сравнимы (за счет изменения cos k\l и sink\l)9 то обе они будут значительно меньше передаточной функции для оптического отклика (8.56). Следует также подчеркнуть, что акустические колебания второго типа, как синфазные ?(—lit) =l(l\t) 9 дают ненулевой эффект в результирующий сдвиг фазы лазерного излучения только благодаря временному запаздыванию в смещениях концов акустической системы; если это запаздывание пренебрежимо мало по
со*^соо(уОо/с)1/2.
(8.57)
Q0=IO8, V= IO6 см/с, (Qu/c)~100.
228Ісравнению с длительностью гравитационного всплеска т, вклад колебаний второго типа пренебрежимо мал.
Подведем итог. Реакция веберовской антенны с оптической системой регистрации в общем виде содержит, как и ожидалось, чисто «оптический» отклик на гравитационную волну с характерной триплетной структурой для коротких сигналов и «акустический» отклик, связанный с возбуждением акустических волн в теле гравитационного детектора и соответствующим негеодезическим смещением его торцов с зеркалами. Очевидно, что последний эффект пропорционален скорости звука и исчезает для свободных зеркал, когда V = 0, 6 = 0. Таким образом решается вопрос о «двух или одном эффектах» взаимодействия гравитационной волны с лазерной антенной: для свободных зеркал весь отклик только оптический; наличие упругой связи между зеркалами порождает дополнительно акустическую реакцию. Соотношение между величинами обоих эффектов зависит от длины базы, спектрального состава и длительности сигнала, а также способа выделения полезного сигнала на выходе антенны.
Проанализируем это соотношение для гравитационных сигналов различного вида.
Рассмотрим всплески конечной длительности т, содержащие несколько периодов колебаний частоты cog, ((Og-(O0). Ширина спектра таких сигналов порядка тесли (о/гїМ, то ширина будет порядка сOg. Как было показано выше, в области низких частот I^lSiпоэтому для резонансных воздействий передаточная функция акустической системы приближенно имеет вид
/С(со) ^ V K1(CO) = - 4-у;---(8.58)
IU COn [COn-CO + icon/2Qn] V '
Если всплеск содержит не слишком много периодов колебаний, спектр h(со) можно считать практически постоянным в пределах каждого резонанса, что значительно облегчает дальнейшие оценки; имеем
oo
Sn (га> —
h (со) Г /C1 (со) еш(к?>, dco, т. (8.59)
П —оо
Вычисляя интегралы (8.59) с помощью вычетов, несложно получить (для определенности спектр h(со) четный):
Ь(/, 0—teT-JJ coskI1 е 2Qn sint > т. (8.60)
Ti^ о
229ІЧтобы найти акустический отклик в момент действия гравитационного всплеска т, надо воспользоваться импульсной передаточной функцией H(Q) [236]:
1(19 t) = J h(t— 6) Я (0) d6,
—со
OO
#(Є) = — Г К(и)ё<»49 = 2я J
— OO
о, 6 < 0;
о>пе
2u2 fl 1 20„ ^iOn/ . п п ^ л (8.61)
--V—е п cos sm соп 8, 0 > 0.
I L с
Структура оптического отклика для сигналов различной формы уже была подробно рассмотрена (§ 8.2, 8.3), поэтому ниже более детально исследуется акустический отклик.
Пусть для определенности гравитационный всплеск имеет вид
h(t)= ( A COS ©^ при \t\<x\ (8.62) 1 0 при |*|>т,
при этом
h И = _L t H0Ї j зіп(ш,-ш)т + + ). (8.63)
4 2Я 11 ° I (cdg-cd)t (cdg+cd) t j V '
Очевидно, что максимальной амплитудой обладают гармоники, ближайшие к частоте сигнала cog.
В принципе возможна работа антенны на высших гармониках, однако высоты резонансов падают с увеличением номера резонанса. Поэтому оптимален случай cog=co0. Если cog настолько мала, что выполнение условия cog=co0 невозможно из-за технических ограничений на размеры веберовского детектора, реализуется случай cog<coo- Именно для этих двух ситуаций найдем соотношение акустического и оптического откликов, обращаясь к частотному сдвигу оптического излучения (8.41).
Акустическая часть в частотном сдвиге согласно (8.41) будет
(^C-. [*(/, <- -S-JU (,, <- JL) +Ul, 0]; (8 64)
(/, t) является медленно меняющейся функцией с характерным временем изменения соо"1, поэтому поправкой At ~ Aljc в аргументе 1(1, t) можно пренебречь ^cos ril^nl = lj:
(-) *
\ <0 /ак
16* lg h е 2Qn cos ^ (8 б5)
Ic
п>0
230ІТогда из (8.63), (8.65) получим, пренебрегая высшими гармони-
Sv2Xhptn ~ 2Qosinco t Sin (O)0 -(Dg)X | Sin ((D0 + (Dg) T 1 Ic ° L (O)0-(Dg)T (O)0 + (Dg)T J
ками:
(d0/
(—) -
\ <0 /ак
(8.66)
Возвращаясь к оптической части отклика в частотном сдвиге (8.41), заметим, что при условии 7V=2ji/(ug»2//c триплет оптического отклика сливается, и происходит частичная взаимная компенсация его компонент, тем более существенная, чем сильнее последнее неравенство. Остаточный оптический отклик имеет вид
(JSL)
1 Ш )opt С___ СГ* (8.67)
здесь T = JtaJt^ap, T=JlaJtp^aP.
Из (8.66), (8.67) получаем искомое отношение амплитуд акустического и оптического откликов: