Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
„ _ (*-<?)? Mx , I 4 «,Л д»9
(l + a)(l—2а) дх
Л +
Здесь E — модуль Юнга, a—коэффициент Пуассона, г] и ?—вязкости. Подставляя (8.42) в (8.41), получим
д2е о д29 дЩ „Di . .ч і d*hn t .ч /Q .Qv —--^з—т — 2о-—— = -C2Roioix1 t) =--— (х, t), (8.43)
dt2 дх2 dx*dt Uiuv , / 2 dti \ J \ /
vl= V2=-—---скорость звука в станине, 26 =
(l + a)(l-2a) .
= ^-^+^1 р— эффективное трение, R)ki— тензор Римана. Граничные условия для деформации Q(xf t): Є(/, t) =Є(—19 O=O- (8.44)
Реальное физическое смещение точки с координатой х:
X"
у(х, O= J0(*', t)dx'. (8.45),
226І Чтобы получить координатное смещение t), входящее в формулы (8.38) и (8.40), заметим, что в первом порядке по Ti
для физического расстояния между точками А/ — +
откуда для t) имеем
l(xf t)=y(x, t)-y*{x, t), (8.46)
где у* (ху t)—физическое смещение в поле гравитационной волны для свободных масс при у = б=0.
Решение уравнения (8.43) удобно провести с помощью фурье-разложения:
OO
в(х, ()= [в(х,(й)ешйв>, (8.47)
—OO
OD СО
Zi11 (X, t) = j hn (х, со) eib,tda> = ^ h(t) еш+ік^скй, (8.48)
—оо —оо
оо
тде Aj1 = ZI1GVc, h(со)=h(t)e-i(otdt.
— OO
Из (8.43) с граничными условиями (8.44) нетрудно найти
6 (х, со) = А (со)
sin (\1 +fei)/ ?{?X + sin Qi-fr)* e-[XX_eiktXl 9 sin 2\il sin 2\il J '
(8.49)
AW=-^?
2 [о2 — fej (t»2 — 2t6(o)] ' ^ „ " уТ+Шф? И для координатного смещения в точке (х, t) получим
OO
? (X, t) = Г Д (со) еш(Ь \ coshl 1 sin их J L Iа cqS И1'
+
+ tsinfe^ (1—COSцх) + tMt,2 + 2t6t0) (е**-1) \l sin ^l/ О)2
(8.50)
Формулу (8.50) можно упростить, отбрасывая члены ~vje и считая затухание достаточно малым, так что и2^>2бсо для всех интересующих нас частот:
l{Xt 0= - - Г e"d*fi^sinfu; +
2 J о) L cos \і I
-OO
+
І Sink1 I n V j
sin \ll
226І
(1— cos|A*)J. (8.51) Первый член в подынтегральном выражении (8.51) описывает антифазные колебания акустической системы ?i(/, t)=—?(—/, t)
и имеет резонансы на частотах соп = -~- ппj» л = О, 1, 2... .
Вблизи п-го резонанса этот член можно представить в виде
h (со) K1(Co) = - h (со) "cq^1 1 tg ill = -- U^' (8.52)
где введен параметр Qn = V2/2бсоп, имеющий смысл добротности а-й моды. Таким образом, первый член в (8.51) может быть представлен суммой резонансов, амплитуды которых падают как соп~3, а ширины растут пропорционально <оп2. Такое представление справедливо, пока расстояние между резонансами существенно больше их ширины. Естественно определить граничную частоту, разделяющую «гребенчатую» и непрерывную части спектра передаточной функции Ki (со) из условия corp/2Qn = 1MiCon — con-i); учитывая, что conQn = cooQo и Qo>l, найдем
o)rp=2cooQo1/2. (8.53)
В диапазоне со<согр имеется nmax—Ql/2 обособленных резонансов, после чего передаточная функций Ki (со) приобретает вид гладкой кривой /Ci(co)=iucos&i//2co. Приведем численные оценки. ЕСЛИ Qo=IO8, ТО /Imax=IO4; При ЧаСТОТе ОСНОВНОЙ МОДЫ COo=
= IO4 с1 граничная частота соГр—2- IO8 с-1. (Частота, для которой будет нарушена правомерность предложения о малости затухания 26con<u2, оказывается Co=(V2)Qo172Corp-IO12 с-1 достаточно большой.)
Второй член в (8.51) удовлетворяет условию |2(—Iy 0 = = U(Ut) и описывает синфазные акустические колебания (смещения обоих концов станины происходят в одинаковых направлениях). Резонансы имеют место на частотах сош =— я (1 + 2т); для передаточной функции вблизи резонансов получим
IS , ч iv3 SinAj1 /1 -
#С,(Ш):--------(8.54),
Это выражение справедливо пока со<сотах—соо(<3)1/2, где со0 и Q0 — частота и добротность первой моды этого типа колебаний;
V t \ V sin kl
выше этой частоты д2(со) =---
2о)
227І Передаточную функцию для «оптического» отклика (реакция оптической антенны на свободных массах) /Copt(со), определяемую соотношением
OO
A^opt (0 = J ft H ^opt He^dco1
(8.55)
-oo
несложно получить, используя (8.15):
iCODt(co) = - і-22-е ' с Г +
v со \ с с J
-Tt1JkA (1-м?)-1.
(8.56)
Чтобы теперь выяснить соотношение между «оптической» и «акустической» частями отклика, удобно сравнить /Copt (со) с передаточной функцией для «акустического» отклика. Это позволит указать область частот, в которой преобладает «оптическая» часть и комбинированная антенна переходит в «антенну на свободных массах». Непосредственное сравнение (8.56) с (8.52), (8.54) определяет граничную частоту со*, ниже которой огибающая передаточной функции акустического отклика превосходит огибающую оптического:
Формула (8.57) уточняет упрощенное частотное условие соо<С ^CcOg (см. § 8.1, где Co0=(Oll)9 при выполнении которого справедливо представление оптико-акустической антенны как антенны на свободных массах; вместо грубого условия сооО^ имеет место уточненное coo(Qo^)1/2<o)g. Для высокодобротной антенны из сапфира поправочный множитель весьма существен:
Поправка возникает благодаря учету более высоких резонансов в распределенной акустической системе: частота сигнала должна быть больше частоты «заметного» п-го резонанса.
