Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
СOg Ae
. h (2/ + i)-h ([l-sin0]/ + 1)+ у*ф]}.
(8.19)
-sin0
В длинноволновом пределе (/(0g/c)"Cl формулы (8.19) дают [231]
©/г
9 = 0, At|) = -— cos 2ф • 2lh0e с
Ojr
Ф = 0, Дф = — (1+ COS2 9) lh0e
К
(8.20)
При расчете интенсивности на выходе интерферометра следует использовать лишь действительную часть формул (8.17), (8.20), Из (8.20) видны основные черты приемной диаграммы антенны: четырехлепестковая картина в плоскости интерферометра и ослабление эффекта вдвое против максимального для 9=* =я/2. И то и другое — наглядное следствие взаимной геометрии интерферометра и поля ускорений плоской гравитационной волны. Если длина волны короче плеча интерферометра, диаграмма строится в соответствии с (8.17) и может быть сложной. Отметим, что, когда на длине плеча укладывается целое число волны (l/kg)=k, k=l, 2, 3, отклик антенны будет нулевым как при нормальном падении (9=0) в силу симметрии плеч, так и при падении сбоку (9=я/2)—работает только одно плечо с нулевым интегральным по длине возмущением. (О возможности гравитационно-оптического резонанса см. ниже.)
215І Многоходовой интерферометр Майкельсона предполагает п-кратное увеличение пути интерферирующих лучей за счет повторных отражений. Результирующий фазовый сдвиг может быть вычислен с помощью (8.17), если к аргументу функции h(t) добавить число 2 (т—1)/ и просуммировать по т от 1 до п. В длинноволновом пределе этот расчет дает формулы (8.20) с множителем п (как и ожидалось).
2. Рассмотрим теперь гравитационное излучение в виде короткого всплеска, в пределе б-импульса: h = H0o(naxa). Роль спектральной плотности сигнала в (8.16) теперь будет играть константа Zi0(оз) =2it#0, где H0 — произведение безразмерной амплитуды всплеска ho на его длительность т: Ho=hoT имеет размерность времени. Чтобы не обсуждать возможных нарушений приближения геометрической оптики, ограничимся случаем, когда т<CZ/c но (ое_1Ст. Расчет фазового сдвига по общей формуле (8.15) дает
= -г5-"Г ^ И sign (2/ + si^n (v/ + o -
Ae 2
- C sign (V1Z + D-Dsign Ш]. (8.21)
Выражение (8.21) подобно (8.17), но с той разницей, что функция h(t) =h [(OgfiaXa/с] заменена на функцию единичного скачка
sign (Z) = sign (UaXaIcX) = / 1 при ' **
{ — 1 при t < 0;
кроме того, вместо частоты сog используется обратная длительность всплеска т-1. Характер отклика интерферометра, однако, уже не сводится к простому повторению формы гравитационной волны, как это было в длинноволновом пределе (8.20). Формула (8.21) показывает, что б-воздействие трансформируется на выходе интерферометра в импульс сложной структуры с полной длительностью 2Ilc в общем случае с четырьмя фронтами, возникающими в моменты Z, Z + vZ/c, t+v±l/cf t+21/c. Как моменты возникновения, так и амплитуды фронтов зависят от направления падения волны. Важно, что в конце импульса фазовый сдвиг Дг|) обращается в нуль (для импульса без асимптотически исчезающих хвостов). В многоходовом интерферометре Майкельсона последнее означает, что следует ожидать не накопления эффекта, подобно отмеченному в длинноволновом гармоническом пределе, а n-кратного повторения импульса-отклика с периодом 21/с. Формально это следует из расчета сдвига Aifn для я-ходового интерферометра: в формуле (8.21) появляется дополнительный член 2 (т—1)Z в аргументе функции sign (паха) и результат суммируется по т от 1 до п. В итоге возникает длинный отклик (длительность (21/с)п)9 модулированный на этом интервале по ампли-
216І туде с периодом 21/с. Примеры временной структуры импульса-отклика как функции углов 0 и ср для однократного отражения можно найти в [230].
§ 8.3. ИНТЕРФЕРОМЕТР ФАБРИ — ПЕРО В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОЙ ВОЛНЫ
Резонатор Фабри—Перо уже по своей природе — оптический прибор с многократными отражениями; таким образом, здесь возможны аналогичные эффекты накопления и повторения всплесков, индуцированных действием гравитационного излучения.
В синхронной системе отсчета вычисление можно провести подобно классическому расчету с учетом дополнительного фазового сдвига вследствие действия волны. Для упрощения формул будем рассматривать случай нормального падения волны накачки на зеркала интерферометра; тогда гравитационный сдвиг фазы между соседними лучами, прошедшими резонатор, дается формулой (8.15), которую следует конкретизировать в зависимости от вида гравволны.
1. Пусть гравитационное излучение имеет форму монохроматического сигнала. Фазовый сдвиг между первым и п-ы прошедшими лучами равен
п
An= - -f—-T1У {ah(2ml + l) + ?/t([vf 2m-2]I + |)_
Z (Og Ke тая m=\
-yh[(2m-2)l + l]},
(8.22)
«=•=-> у=-, /I(I)=A0Sin-^-I.
V VVV C
Для суммы амплитуды п лучей в прошедшем свете имеем
п п
E ~ E0t2 Л P2m еіт6 +і ? Р2теіт6 Re Д„), (8.23)
т=0 т=1
здесь Z2=I—Ri Q2=Ri 6=4я/Де. Расчет интенсивности в общем виде весьма громоздок, поэтому мы рассмотрим два основных случая.
1а. Длинноволновой предел (cog//c)<l. Учитывая, что a+?-f +Y = O, имеем для действительной части фазового сдвига (8.22)
Re An = ~~ Kh J] cos (2m ^sL + ). (8.24)
