Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем здесь краткое решение задачи на основе максимизации функционала правдоподобия [185].
Напомним смысл функционала правдоподобия W[x(t)/h] как условной вероятности, связывающей априорные сорг(Х) и апостериорные (после измерения) cops(Я) распределения характеристик сигнала X [178]. (В простейшем случае задачи обнаружения s(i, k)=Xs(t), так что Я, принимая значение (0, 1), просто фиксирует факт наличия или отсутствия сигнала.)
сор8(Я)=йсоРг(^)1Г[х(0Д],
k — нормировочный коэффициент; функционал правдоподобия W[x(t)Д] — вероятность появления реализации x(t) при условии «выпадения» конкретного значения параметра Я.
Для нормальных процессов x(t) вероятность W[x(t)!%\=A. представляется экспоненциальной функцией; поэтому достаточно исследовать поведение ее показателя, чтобы найти X — наблюдаемую оценку, максимизирующую функционал в целом. В случае нормального шума (7.5) и квазигармонического сигнала функционал правдоподобия на интервале наблюдения (fo-, /о + т) имеет вид [178]
т
Л = ехр {—L j Ac (t)Ф(0 dt} I0 ) ,
О
т т
С = J * (f) ф (t) cos сo0tdt, S = fx(t)(p (t) sin сo0tdt, (7.7)
о о
x(t)=m+s(t),
I0(X) — функция Бесселя мнимого аргумента, параметр Я включен в амплитуду сигнала (7.6).
і 78 Опорная функция в уравнениях (7.7) определяется априорными характеристиками задачи и удовлетворяет интегральному уравнению
j Ki(t-tJ VitJ (U1=SM9 U
или (7.8)
U+T
«(0= J ^CM1Hp(УЛі = -^-(1 +е-)-.
to
Решение (7.8) для коротких интервалов наблюдения 6т<СІ имеет вид
,(O-WPWla.^fl + i«) (7.9)
(на больших временах поправки 8t отсутствуют).
В силу монотонности показателя экспоненты в функционале его экстремум определяется экстремумом аргумента Y =
2
= —(С2 +S2)1/2. Таким образом, оптимальной процедурой обна-
X
ружения сигнала будет процедура формирования переменной Y по выходной реализации пробного осциллятора (гравитационного) с последующим исследованием ее поведения. Наблюдение «крайних», статистически маловероятных значений Y будет интерпретироваться как аргумент в пользу наличия внешнего воздействия. Случайная величина Y2 пропорциональна энергии колебаний пробного осциллятора, а сама переменная Y — есть огибающая квазигармонического процесса x(i).
Vf T Я *о+т
Y ~
т
Ц j x(t)cos(i)0tdty+ ^ j x(t) sin CO0^d^j211/2 + 0(6т).
(7.10)
Известно [178], что Y подчиняется распределению Райса (или, иначе, обобщенному релеевскому распределению) :
Y
(О (К) =-ехр
(Ty
Y2 -f- а2
24
где а=Л0, gy=ob]/8x в отсутствие сигнала s(?) и а=А0+А(х) /2 при наличии сигнала; A09 А(х) — амплитуда квазигармонической переменной x(t) в моменты /0, to + T.
Порог обнаружения Га, превышение которого будет означать регистрацию сигнала, определяется статистикой У по выбранной вероятности «ложной тревоги» (вероятности ошибочной регистрации в отсутствие сигнала). При этом порог оказывается функци-
179 «ей двух параметров A0 и оу. Усредняя (7.11) по случайной амплитуде A0, можно задать универсальный порог для любого положения интервала наблюдения (t0, to+т) на временной оси; правило обнаружения будет
Il7I >Га = ав (2 In-I j172, (7.12)
что совпадает с простым обнаружением «длинных» (т^гр) сигналов в стационарном узкополосном шуме [178—180].
Для коротких сигналов (что типично в гравитационно-волновом эксперименте) возможно рассматривать интервалы наблюдения короче времени релаксации ^г<т<6-1. Но при бт<1 распределение Райса (7.11) асимптотически переходит в нормальное. Действительно, если бт-^0, ТО СГу-^0, (Y/<Jy)»l, и, используя асимптотику функции Бесселя
/ (Z)--?l_ Г1 -I 1 4л2 (1 + 4я»)(9-4я») , 1
In{Z)-V2Tz L1 + 1! (Sz) + + "_Г
получим из (7.11)
(Y-АоУ*
2 о»
(7.13)
Так как сгу-^0, то вероятные значения У будут группироваться около A0, т. е. приближенно (У/Л0)1/2~ 1, и (7.13) есть просто нормальное распределение.
Статистика (7.13) позволяет задать универсальный (независящий от положения интервала наблюдения на временной оси) порог обнаружения для разности | У—A0 | по правилу
I У—A01 (7.14)
где Щ-а — квантиль нормального распределения [186].
Очевидно, что процедура обнаружения короткого сигнала (7.14) в (1/Убт) раз чувствительнее операции (7.12) (коэффициенты (2 In а-1)1/2 и Ui^a практически не отличаются при малых а). Этот выигрыш «оплачен» усложнением самой процедуры (7.14), которая теперь кроме формирования наблюдаемой Y (7.10) включает «запоминание начального значения» Y(t0)=A0. Ясно, что такая методика обнаружения будет оптимальной при точно известном моменте прихода сигнала t0. Если t0 не известно, следует использовать последовательный набор т-интервалов формирования Y, покрывающий полное время наблюдения.
Алгоритм (7.14) имеет наглядную физическую интерпретацию, связанную с уменьшением дисперсии броуновских флуктуаций осциллятора на временах, меньших его времени релаксации (см. § 6.3) Ob(T) =Oв(2т/тр)'/2.
Если априори известно, что сигнал короткий: T1Ctp, то выгоднее следить не за абсолютной величиной амплитуды (или фазы),
