Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
— = L=- (Di-Dii) = [— (Л2-С2)~Г, (5.13)
dt 45с5 Х 4 ч/ 375с5 L dt* V 'J V
его спектр
= L(d = I ГDijei«tdt 2 = С2)^dt \
da ® 45сб IJ 375с5 Ijd'3
(5.14)
Если наблюдатель находится в точке со сферическими координатами т, 9, ф, то в его локальной системе с ортонормальным базисом ег, е0, еф форма волны описывается компонентами Ativ в 7Т-калибровке (см. гл. 2):
hll = -hll = -f^sin2 6 [-? (Л2—С2) j r-i,
(5.15)
HqI = O.
Легко видеть, что волна линейно поляризована и излучение отсутствует, если коллапс сферический (A = C). Если предполо-
132 жить, что существует малое отклонение от аксиальной симмет-
TT TT
рии (?<Л), получим, что компоненты Лее =—Лфф приблизительно совпадают с (5.15), однако теперь появляется также вторая поляризация.
hll/h$~l-B/A. (5.16)
Таким образом, отношение амплитуд двух поляризаций дает прямую информацию об отклонениях от аксиальной симметрии в источнике!
Численное решение уравнений типа (5.12) показывает, что для различных начальных условий, эксцентриситетов, угловых моментов и т. д., коэффициент полезного действия (5.1) не превышает IO"3 и быстро убывает с увеличением начального периода вращения (-P'4).
В частности, изучался [100] коллапс сфероида Мэклорена с M=\y4MQy Pin=IO10 г/см3. Энергетический спектр здесь обрезается на частоте vmax~ 1 кГц; в случае вращения эллипсоида он имеет два пика. Интересно рассмотреть временную структуру излучаемого импульса. На рис. 5.1 изображены взятые из [100] компоненты h<w(t—г/с) (см. (5.15)) для коллапса сплющенного сфероида с начальным эксцентриситетом е = 0,001 (а, б) и е; = 0,9 (в, г). Стрелки указывают момент максимального сжатия (а, в) и соответствуют коллапсу с нулевым вращением, б, г отвечают коллапсу с моментом импульса, равным моменту импульса сфероида Мэклорена с заданными е», My рщ (параметр по горизонтали 26М/с2 Rmaxy где Яшах = піах(Л, By С)). Отметим, что пик импульса излучения расположен всегда вблизи точки максимального сжатия. Вращение понижает и расширяет импульс — в согласии с тем, что центробежные силы ослабляют коллапс.
В последующих работах [106, 107] Саенз и Шапиро, рассматривая более реалистические эллиптические модели (с учетом ударной волны в ядре, возникающей из-за задержки коллапса), получили интересные результаты, показывающие, что внутренняя часть эллипсоида после первой остановки коллапса продолжает осциллировать с большой амплитудой, увеличивая свой эксцентриситет, т. е. нарастает несимметричность. В результате эффективность выхода гравитационного излучения также возрастает до Ю-2, даже если начальная конфигурация мало отличалась от сферической. В последующих точках остановки коллапса (сжатия) также излучаются импульсы с нарастающей амплитудой. Например, в пятой остановке амшштуда достигнет величины \h\~ ~ 0y\GM/c2r~ Ю-21 для земного наблюдателя, следящего за источником — скоплением галактик в Деве. Сохранится ли этот эффект в более точных расчетах в рамках ОТО, учитывающих неоднородное распределение вещества и т. д., пока точно неизвестно.
Имеющиеся работы Милера [108], основанные на специфических ньютоновских моделях коллапса вращающихся ядер звезд, Милера и Гилебранта [109], в которых учитываются неоднород-
133 ность распределения вещества, неравномерность вращения, особенности микрофизики, ударная волна, возникающая после задержки и т. д., дают не слишком оптимистические предсказания: эффективность гравитационного излучения не превосходит IO"6, а его амплитуда для источников, расположенных в скоплении Девы, h меньше -IO"22.
2A0W 2M/R max
2M/Rmix 2М/Ятй%
2,0 2,5 3,0 1 2 3 4 5 6
Ь V2C г 10 с
Рис. 5.1. Излучение (форма импульса) при коллапсе сфероида Маклорена; амплитуды h выражены в единицах:
а) U .,0-7 б) Л в) iL.10-2, г) Л.10-3
Г Г Г Г
Задача расчета гравитационного излучения от коллапса, ведущего к образованию черной дыры, до сих пор исследовалась только в рамках теории возмущений, описанной в § 4.3. Наиболее систематической является серия работ Монкрифа, Канингхема и Прайса [110, 111], которые рассматривали коллапс пылевидной материи сферической конфигурации и возмущения этого коллапса в некоторых случаях даже до второго порядка включительно. Фоновая метрика внутри шара выбиралась как коллапсирующая вселенная Фридмана, а вне — как метрика Шварцшйльда. Поль-
134 зуясь методом, описанным в § 4.3, можно найти калибровочно-инвариантные величины, удовлетворяющие уравнениям типа (4.49)» В решениях этих уравнений содержится вся информация о возмущенной метрике, т. е. о форме излучаемых волн, их спектре и мощности. Конечно, решения для возмущений внутри тела должны «сшиваться» на поверхности с внешними возмущениями. Ди-польные возмущения (/=1) с нечетной четностью представляют медленное вращение шара, когда никакого излучения не возникает. Чтобы понять, какое излучение может образоваться из-за вращения, необходимо учесть возмущения второго порядка, индуцированные модой I= 1. Главным, конечно, является квадруполь-ное возмущение (/ = 2) второго порядка. Метрика вне коллапси-рующего тела асимптотически переходит в метрику шварцшиль-довской черной дыры или, если учитывать вращение и возмущения второго порядка, метрику медленно вращающейся дыры Керра. При численном решении уравнений типа (4.49) удобно начинать с конфигурации, которая в момент t0 покоится, и внешнее возмущение соответствует определенному мультиполю. Расчеты показывают, что излучение вне шара почти не зависит от начальных внутренних возмущений.
