Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
goo=\-rg/rki gii— 1 h cos 2a,
gi2=g2i=rh sin 2a, (9.26)
g22=—r2(l—h cos 2a);
rg = 2GM/c2 — гравитационный радиус Земли, ft=ft0sin(Og/, ft0= =2(dg~l (8nGc~3/) 1^, сOg — частота гравитационной волны. Движение пробной массы (спутника) описывается уравнением геодезической (1.3).
Вычисляя Th для метрики (9.26^ и подставляя их в уравнение геодезической, получим (пренебрегая квадратичными членами h2ik)
г + SJA. (і —h cos 2a) + кг cos 2a—Ahra sin 2a—
2 r2
rhd sin 2a — r (a)2 = 0, (9.27)
cV г 2 r ' ' '
a--?- h sin 2a--h sin 2a H--a —ha cos 2a +
2r3 r r
+ 2h (a)2 sin 2a = 0.
B (9.27) необходимо перейти от «координатных» расстояний к ^истинным (наблюдаемым экспериментально) по формулам [1]:
dri=[\-\-l/2h cos 2a]dr, Гі^аі=г[1 — l/2h cos 2a]rfa, c%=ct.
Выполняя этот переход, получим (отбрасывая индекс у истинной координаты)
253І C7iTa
г + —?- (1—hcos2а) + rhcos2а—4raftsin2a—rahsir\2a—
2 г2
— г (а)2—rah sin 2а--і- й cos 2а = О,
2г • 1 • • с2г • • а H--а--гЛ sin 2а--h sin 2а—Aa cos 2а +
г 2 2г3
+ 2 (Ct)2Zi sin 2а + (h)2 sin Ia - 0. (9.28)
В отсутствие гравитационной волны система (9.28) имеет простой вид
M--^f-г(І)» = 0, (9.29)
2 г2 dt у '
это движение пробного тела в центральном поле. Решение этих уравнений — стационарные круговые и эллиптические орбиты. Для простоты исследуем круговую орбиту
г = /?o=const, a=cсоо2=^2/^/2/?о3= GM/#o3=const. Возмущения орбиты гравитационной волной ищем в виде г=#о+р, a=coo^+9, р<#о, 8<а=оо<.
Подставляя эти г и а в систему (9.28), получим (в первом по-, рядке по р и 9) уравнения отклонений пробного тела от стационарного движения:
р + Зсоор—2/?0со06 = ["Т" + 2coo«g—«о ] sin (2со0— cog) t + + ^L L2 + 2со0со,- sin (2со0 + (Og) t,
(9.30)
ё + ~ A- + CO0CO^-0>§] COS (2a>0—(Og) t +
h Г 2 cd^ 1
+ -J- CO0 + CO0COg--Y COS (2со0 + COg) t.
Появление комбинационных частот в правой части (9.30) — типичный эффект для гетеродинного детектора, которым служит пара «Земля — спутник». В дальнейшем для нас важен член с
254І разностной частотой Q=2coo—tog. Исключая 9 из первого уравнения системы (9.30),, получим
р+со^-%
+ + +CDrfD1Jsina.
Решения этого уравнения
[(т""шо +cdO ©в ) (1 + "?*"]
P =
Roho
(9.31)
(9.32)
Возможны следующие специальные случаи. 1. |?2| =(I)O — простой резонанс: «а) COg=COo,
p = 5URo(doh0tcOS COoty
0 = —15^COoM sin CO0^
*б) c0g=3c00,
P=-iIzRo(d0h0t COS C00f,
9=8/зсооМ sin COo^
(9.33a)
(9.336)
Физически это случай резонансного перехода пробного тела с круговой орбиты на эллиптическую; эксцентриситет орбиты растет линейно со временем. Направление осей эллипса зависит от поляризации и фазы гравитационной волны.
2. Q==O, 2coo=cog — случай «синхронизма»:
P = SR0(X)Ohoti
,9=-9/4/10000^2.
(9.34)
Таким образом, при выполнении условия синхронизма спутник летит по спиральной раскручивающейся или скручивающейся орбите.
В случае небольшой расстройки, такой что ?2<^соо, спутник с периодом 2я/й будет переходить от эллиптической орбиты с эксцентриситетом 2ho к орбите более вытянутой с эксцентриситетом 2/iocoo/Q.
Для численных оценок эффекта выразим h0 в формулах (9.33), (9.34) через плотность потока гравитационного излучения
<А0= о)^1 Будем иметь в виду следующую наблюда-
тельную схему: при последовательных пролетах спутника над фиксированной точкой наблюдения на Земле измеряется расстоя-
255І ниє до спутника, например, радио- или лазерным локатором и; кроме того, регистрируется задержка Atg во времени пролета по отношению к интервалу, определяемому невозмущенным (начальным) периодом обращения.
В случае синхронизма, подставляя земные параметры г0= *=7-106 и со0—10~3 с в формулы (9.31), получим для вариации радиуса орбиты Arg и задержки Atg (коэффициенты в единицах СГС)
Д/у^10-9/Ч A^=IO-1W (9.35)
При разумном времени наблюдения /=IO7 с (~4 месяца) для типичного потока от известных двойных звезд /~10~13 Дж/с флуктуационные уходы обычного спутника при движении по околоземной орбите значительно превосходят эти величины.
Специальный спутник, свободный от сноса (dragg free satellite), на современном уровне технического исполнения допускает остаточные (негравитационные) ускорения а~ 10~12 м/с. Его отклонения от геодезического движения под действием негравитационных возмущений могут достигать значений Ar— (at/со0) ~ — 0,01 м и At?* (За11ы2г) ~ 10~6 с, что также превышает Arg и A tg. Для технически совершенного спутника, с полностью исключенными негравитационными флуктуациями, останутся такие эффекты, как релятивистское смещение перигелия, приводящее к сдвигу Д/~5-10~3 с, и более сильные уходы за счет несферичности и неоднородности земли. Отделить эти уходы от сдвигов Atgy созданных с помощью одного спутника, по-видимому, невозможно.
Теоретически можно представить себе компенсационную схему эксперимента с двумя спутниками, свободными от сноса, сдвинутыми по угловой координате на 90°. Тогда гравитационно-волновые возмущения для них будут иметь разные знаки, в то время как другие возмущения одинаковы. Однако необходимая степень тождественности начальных параметров орбит Асо/со0~ Ю-1* далека от реальности.
