Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
X X
С(х)= Jcos (-5- (2J dt-, 5(x)=Jsin dt, х^О,
о о
и свойства этих функций: С(—х)=—С(х), S(—x)=—S(x),
С (х) dx= хС (*)--- sin — X2; f S (х) dx = xS (*) + — cos —
я 2 J п 2
Первый интеграл уравнения (9.18) дает формулу для произ-d А
водной -Аф; из нее для угловой скорости гантели во вращаю-
дх
щейся системе отсчета, т. е. для вариаций частоты вращения детектора, получаем
-А- Аф = Aco1 (т) = В J]2 {cosb.[C(х)—С(х0)] + + sinft. [S(X)-S(X0)]). (9.19)
250І
і Второе интегрирование дает функцию отклика детектора: дф до = cosЪ {х[С (х)-С(X0)]--І-(sin Yх2—sin JL J +
+ JtpBsinb [S(x)-S(X0]+JL (Cos^ x2-cos JL х*)}. (9.20)
Это точное решение задачи, но оно не вполне наглядно. Удобнее анализировать асимптотику этого решения при х-^-оо, т. е. для больших т, которую можно получить, воспользовавшись при-блйжениями интегралов Френеля
CW =| + 3i„f ,.[J--O(Jr)] ; SW-O-
— COS-X .
2 |_ ш
Если положим, что х0^> 1, т. е. что начальный момент времени соответствует достаточно большой расстройке Q=coo—2соь то получим для Дф(т) следующее асимптотическое выражение:
Дф(т)= [^f- I^y2 (T-T0)Sin f), (9.21)
где
То=1/2ЙТ*СОо_1.
Качественно картина взаимодействия идеального вращательного гетеродинного детектора с гравитационным излучением пульсара такова: вначале, когда частота излучения больше удвоенной частоты вращения детектора, возмущения движения гантели носят колебательный характер; частота этих колебаний равна частоте биений, амплитуда может быть оценена по формуле (9.6). По мере приближения частоты излучения к значению 2coi период биений и их амплитуда увеличиваются; в момент синхронизма гантель получает наибольший ускоряющий или замедляющий ее вращение импульс, который затем сохраняется, поскольку трение полагаем отсутствующим. После момента синхронизма т=то движение гантели будет представлять собой вращение с увеличенной (или уменьшенной) частотой соі±Дсоі и с наложенными на эта вращение осцилляциями с возрастающей частотой и уменьшающейся амплитудой и при т->-оо описывается формулой (9.21). В соответствии с этой формулой
(9.22)
Наибольший эффект достигается при условии, что начальный сдвиг фаз фо и начальная расстройка Q удовлетворяют уравнению
. . Q2T* . я л; , /л
•= — +ш. (9.23)
4со0 4 2
251І Например, подставляя в формулу (9.23) данные пульсара NP0532 соо=400 с"1, т*=10и с, /=Ы0"8 эрг/с см2 = = IO-11 Дж/с-м2, получаем, что при оптимальном фазовом соотношении скачок частоты вращения гетеродинного детектора под действием гравитационного излучения этого пульсара составит 8-Ю-16 рад/с, при этом время, за которое это произойдет, порядка IO4 с (первый максимум функций С(х) и S(*) достигается при
1); а за время IO5 с Дф=8- IO-11 рад.
Аналогичным образом вращательный гетеродинный детектор должен взаимодействовать с гравитационным излучением от других источников с переменной частотой, например от двойных звезд, вращающихся по скручивающейся орбите. Возникает следующий вопрос: на какой стадии эволюции таких бинарных систем легче обнаружить их гравитационное излучение обсуждаемым методом? Действительно, отклик детектора (9.21), (9.22) пропорционален произведению (/сот*) у% или, что то же самое, величине (/со2/со) % причем с ростом частоты обращения двойной звезды увеличивается и мощность ее гравитационного излучения, и скорость изменения ее частоты.
Запишем формулу (2.118) для средней мощности гравитационного излучения двойной звезды с малым эксцентриситетом орбиты в виде
P(a)=yGmM/8a\ (9.24)
где
Y=256G3mM (т+М) /5с5,
т и M - массы компонент звезды; а — радиус орбиты, который Связан с частотой обращения со соотношением
Co2=G {т+М) /а2. (9.25)
Из-за потерь системой энергии и момента импульса за счет гравитационного излучения радиус орбиты уменьшается со временем по закону а4т=^(тк—т), где тк — момент коллапса; т — текущее время.
Из формул (9.24), (9.25) легко найти, что
Pl \ — тМо)10/3
nO)j~Y SG2'* (т +Mf'* '
Зо)14/3 4 G4/3 (т+М)4/3 '
Комбинируя две последние формулы с уравнением (9.23), находим, что отклик Дсої вращательного гетеродинного детектора оказывается пропорциональным со1/3, т. е. тем больше, чем ближе состояние двойной звезды к коллапсу. При этом, однако, следует иметь в виду, что в непосредственной близости к моменту коллап-
252І са, а именно за несколько циклов обращения до этого момента, предположения, при которых получены соотношения (9.24), (9.25), перестают выполняться.
§ 9.3. ОРБИТАЛЬНЫЙ ГЕТЕРОДИННЫЙ ДЕТЕКТОР ИЗЛУЧЕНИЯ ДВОЙНЫХ ЗВЕЗД
Имея в виду излучение двойных звезд, интересно рассмотреть крупномасштабный вариант гетеродинного приемника, который может быть образован пробной массой на орбите вокруг центрального тела, например, спутником Земли. Задача взаимодействия гравитационной волны с таким детектором была вначале рассмотрена в ![255] и затем в [256—261] с последующим развитием на эллиптические орбиты в трехмерном случае.
Для упрощенного анализа этой задачи поле Земли достаточно описывать ньютоновской метрикой. Гравитационная волна падает нормально плоскости орбиты спутника. В полярной системе координат (г, а), связанной с центром Земли, метрический тензор имеет вид gik=gik{0)+hik:
