Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Ф + Qo [ 1 — 2g0A cos <oJ] ф с* Асо?рА0 cos (согР* +,фгр) +
+ Ag0co2rpA0 [cos([corp + сон] t + фгр) + cos ([corp-CoJ t—фгр)]. (9.12)
Пренебрегая изменениями крутильной частоты с накачкой g0< <1, Д<1 и рассматривая возмущение на разностной частоте при выполнении условия COrp-COH=Q, находим для приращения амплитуды
АФ~(1/2) ^0AA0CorpT A ~Ag0(l/2)A0Q^A (9.13)
Выигрыш в коэффициенте преобразования по сравнению с (9.1) возникает, если (Ag0corp/Q) 1, т. е. желательно понижение частоты Q< COrp ~сон.
в) Теоретически возможен другой вариант: coH=2Q, —соф+сон= =Qo. В этом случае маятник параметрически регенерирован накачкой и крутильные колебания могут возникнуть при достаточно большой величине go, зависящей от потерь. Если подобрать амплитуду накачки так, чтобы маятник был на грани возбуждения крутильных колебаний, то очень слабая раскачка за счет действия гравитационной волны может привести к нарастанию отклика. При этом стационарное значение, до которого будут раскачиваться колебания, определяется не Qfi, а эквивалентной добротностью регенерированной системы Qfi-O, SQfJl- (70 goQoTp]. Последняя может быть большей, если go~4/Q0tp.
В принципе коэффициент преобразования для такого приемника не ограничен. Однако реализации этой идеи мешают флуктуации либо момента вращения, либо глубины модуляции длины go-Флуктуации заставляют выбирать величину go далеко от порога возбуждения, и эффективность преобразования для малых Zi0 исчезает.
Примеры, которые мы привели, вскрывают основные принцрпы увеличения реакции детектора на действие гравитационной волны при гетеродинировании: нужна многочастотная система и накачка, поддерживающая вынужденные колебания одной из частот (или вращение). Выигрыш в коэффициенте преобразования детектора возможен за счет одновременного развития двух (или более) резонансов, отношения трансформационных частот или близости колебательной системы к порогу возбуждения.
248І § 9.2. ГЕТЕРОДИННОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ПУЛЬСАРОВ
Из изложенного также ясно, что детектор гетеродинного типа наилучшим образом может быть использован для регистрации непрерывного монохроматического гравитационного излучения. По этой причине в литературе уже рассматривались схемы применения гетеродинного детектора для регистрации излучения пульсаров и двойных звезд. Один из первых анализов такого рода можно найти в [254], где детектор в виде вращающейся гантели, размещенный в космосе, исследуется как приемник гравитационного излучения пульсара.
Частота излучения пульсаров (вдвое выше частоты оптических пульсаций) измерена с высокой точностью.
Однако то обстоятельство, что частота излучения пульсаров все же изменяется со временем (уменьшается, хотя и весьма медленно), не позволяет обойтись приведенными выше простыми оценками отклика гетеродинных детекторов, особенно в тех случаях, если время измерения предполагается длительным. В частности, точный синхронизм вообще имеет место лишь в какой-то момент времени.
Более строгое решение задачи о взаимодействии вращательного гетеродинного детектора с гравитационным излучением пульсара должно исходить из уравнения
ф+бф = 2co0? sin 2ф (т) sin(co(T)T), (9.14)
где 8 = H/2tnR2 — декремент затухания для вращающейся гантели R=I/2; со (т) — функция, описывающая изменение частоты излучения пульсара со временем (далее следуем [254]).
С достаточной для мыслимых интервалов времени измерения точностью со (т) можно представить в виде линейной функции
со(и)=соо(1-т/т*),
так как т* — постоянная времени затухания вращения пульсаров — весьма велика. Например, для пульсара N0532 в Крабовид-ной туманности эта постоянная имеет порядок ~10п с, а для многих известных в настоящее время пульсаров она еще больше.
Как и раньше, представим ф(т) — решение уравнения (9.14) в виде сот+фо+Дф(т) и пренебрежем в левой части этого уравнения бф, а в правой — величиной 2Дф(т) в аргументе зіп2ф(т). Первое пренебрежение оправдано в том случае, если постоянная времени вращающейся гантели много больше т*.
Легко проверить, что это условие выполняется, например, если ротор массой ~ 10 кг и размерами приблизительно 0,1 м вращается в вакууме, соответствующем расстоянию от Земли порядка 1000 км (я= IO5 см-3). Но тогда Дф(т) — возмущение, вызванное только взаимодействием с гравитационной волной и его малость оправдывает второе допущение.
249І При таких упрощениях уравнение (9.14) принимает вид
Дф=2сооВ sin (2соіт+фо) sin (со0т—со0т2/т*), (9.15) или
A^=CD0Bcos ^Qx--Vf0J , ?2 = 0)0-2?. (9.16)
В правой части последнего уравнения мы опустили высокочастотное слагаемое, поскольку ясно, что обусловленный им вклад в Д<р(т) существенно меньше амплитуды низкочастотных осдилля-ций.
Уравнение (9.16) удобно решать, введя безразмерную переменную
при такой замене оно принимает вид
а начальные условия по-прежнему полагаем нулевыми: d
, -(Аф)
ах
= 0; Дф|*=»*, = 0;
X-X0
здесь
Ь=$0+а*т*/4<оо, Xo=-Q (т*/2ясоо)
Уравнение (9.18) решается двукратным интегрированием его по X от Xo до х(х). При решении нужно использовать определения функций С(х) и S (я) — косинус- и синус-интегралов Френеля
