Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Mf= F0I sin 2ф sin со^ = m/2cu0 [^^-/j172 sin 2ф sin cogf. (9.2)
Теперь представим себе крутильный маятник: гантель с крутильной частотой соо. Если на нее нормально падает резонансная гравитационная волна (и конфигурация такова, что ф=я/4), то она возбуждает крутильные колебания гантели. Приращение угловой амплитуды колебаний будет описываться формулой, аналогичной (9.1):
a ajc if"4 Аф~--~—Zi0CorpT.
(9.3)
Если волна действует долго: то отклики (9.1), (9.3) достиг-
нут насыщения; множитель согрт в формулах (9.1), (9.3) следует заменить на добротность Qily соответствующую продольной или крутильной моде.
245І Из формул (9.1), (9.3) видно, что у простейшего квадрупольного детектора (все равно с продольными или крутильными колебаниями) нет свободных параметров, варьируя которые можно было бы получить значительное увеличение реакции детектора на действие волны (линейный размер / — ограничен значением ~ 1 м, а время измерения нереально мыслить большим, чем IO5-IO7 с). Такая возможность появляется у детектора гетеродинного типа.
§ 9.1. ГЕТЕРОДИННЫЙ ДЕТЕКТОР НА КВАДРУПОЛЬНОМ РОТАТОРЕ
Предположим, что гантель свободно вращается в плоскости, нормальной распространению волны, вокруг своего центра масс с частотой сої. Тогда угол поворота ф=о>іН-фо и выражение для момента эквивалентной силы (9.2) принимает вид [253]:
Mf = -1 ml2 со0 /]1/2 {cos (Qf—\|>0)—cos [(со0 + 2?) t + г|>0]},
(9.4)
Q^co0-2(?, ^0= 2ф0.
Из формулы (9.4) следует, что вращение гантели изменяет спектр действующего на нее момента Mf: вместо одной частоты <оо появляются две комбинационных. Запишем уравнение движения гантели без учета затухания
m/2cp= — Ttil2B {cos (Qf—^0)—cos [(а>0 + 2cot) t + \|>0]},
(9.5)
B= (8itGc~~3/)1/2.
Решение (9.5) представим в виде ф(*)=соіН-ф0+Дф, Аф — это то возмущение, которое накладывается на свободное вращение гантели в результате ее взаимодействия с волной. Положим для простоты начальные условия нулевыми Дф (O)=O, Дф=0; тогда, интегрируя (9.5), находим
дф /а = ш л [ cos ^0- cos (Ql -- typ) _ cos — cos [(coq + 2cot) t+ г|)р] ) u 0i g2 (co0+Sco1)2 Г
(9.6)
Амплитуда угловых колебаний на частоте Q, возникающих в результате взаимодействия ее с волной, благодаря преобразованию частоты (coo^Q) может быть много больше (в отношении o)o2/2Q2), чем без такого преобразования. Подбором частоты вращения сої (свободный параметр) всегда можно сделать так, чтобы Q <С COo=COrp.
В частности, если соі=соо/2, то на гантель действует просто постоянный момент сил, равный (1/2)*п12ыоА cosфо. В этом случае
246І вращение гантели равномерно ускоряется (или замедляется) так„ что угловой сдвиг за время т есть
Дф в) = JSs^- cos Ih,. (9.7)
Взаимодействие такого детектора с гравитационной волной осуществляется наиболее эффективно. Заметим, что не только частота, но и фаза вращения относительно фазы волны должна быть выбрана оптимальным образом: cos^o—l.
Возможны другие варианты детекторов гетеродинного типа, содержащих несколько (по крайней мере две) степеней свободы и внешнюю гармоническую накачку, амплитуда и частота которой могут выбираться экспериментатором. Рассмотрим простейшие варианты, в которых участвует гантель, способная совершать как крутильные, так и продольные колебания.
а) Пусть гравитационная волна резонансно возбуждает продольные осцилляции гантели. Тогда уравнение для крутильных колебаний
(1/4) mP (1+g cos согрО 2ф+аКр ф=0; (9.8)
здесь 6=(V2)AoG)rpT — глубина модуляции момента инерции за счет продольных осцилляций под действием волны; OCkp — крутильная жесткость. Уравнение (9.8) удобно переписать в первом порядке ПО I в виде
Ф+Qo2 (1 ¦-21 cos (Drpt) ф=0. (9.9)
Если присутствует «накачка», т. е. внешним способом возбуждаются крутильные колебания ф=фо cos(?V+t|>), то в (9.9) возникают возмущающие силы на комбинационных частотах (Drp±Q. При совпадении одной из этих частот с частотой Q0 крутильные колебания начинают нарастать. Особенно удобно выбрать (Drp-Qo = Qo, т. е. (Drp=2Q0, так чтобы наблюдался параметрический резонанс. В этом случае амплитуда колебаний
А'ф— (V2) ёфо?2(Лг=фо (1U) AoCDrpTQ0T. (9.10)
Сравнение с (9.3) показывает, что линейное нарастание отклика детектора во времени теперь заменяется квадратичным. В стационарном случае hQ увеличивается не в Qfi, а в Qtl2 раз.
б) Пусть гантель повернута так, что гравитационная волна создает лишь крутильный момент. Пусть так же накачка возбуждает не крутильные, а продольные колебания l(t)=* = /(1+? COS CDhOj тогда
/(t)<р+акру=mh0l2 sin ф0 cos (cDrpH-фгр). (9.11)
Если момент инерции создается только концевыми массами гантели /(0=72^2/2, то комбинационных сил, зависящих от ам-
247І плитуды h0, не возникнет — изменение коэффициента инерции уравновесят действие внешней силы (это обстоятельство опущено в учебнике [2]). Необходимо предположить наличие постоянной части момента инерции /(0=^0+72^/2(*), так что появляется параметр A= xI2Inl2I (J0+{l2ml2).
С этим ограничением уравнение (9.11) перепишем в виде (фо= —jt/4)
