Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Волновое уравнение с двумя пространственными переменными. Формула Пуассона. Решение u(xlt xs, t) задачи Коши для волнового уравнения с двумя пространственными переменными
имеют непрерывные частные производные третьего и второго порядка соответственно, может быть получено из формулы Кирхгофа (4) методом спуска.
Сущность этого метода заключается в том, что когда в правой части формулы (4) функции <р и зависят только от двух переменных хъ х%, то эта формула дает функцию
не зависящую от х3 и удовлетворяющую как уравнению (7), так и начальным условиям (8) и (9).
Как известно, проекция dyx dy2 элемента площади dsy сферы | у |2 = на круг у\ + г/f <t* выражается через dsu
a v — нормаль сферы \У? = Р в точке (уъ у%, у3). Поэтому, учитывая то обстоятельство, что при вычислении интегралов в правой части формулы (4) следует спроектировать на круг у\ + г/1 < 1 как верхнюю г/8> 0, так и ниж-
(7)
когда начальные данные
U(X 1, Xit 0) = ф(Х!, х2), ыи(хъ Х2, t) M = Xi)
(8)
(9)
и
формулой dyx dy2 = dsy cos (ts, v) = —- dsy, где i3 — орт оси x3.
$ 1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
15?
нюю Уа<.0 половины сферы \у\2 = Р, формула (10) запишется в виде
«(*1. О-i ^ ,7^^= +
i _L_d С Ф (У и Уг) dyt dy2 __ ....
2я dt J yi-Xl)*-(yt-Xt) ’ 1
где d — круг (y1 — x1)i + (yi — xi)t<t3.
Равенство (11) носит название формулы Пуассона. Из этой формулы видно, что для определения волны и (xlt xt, t) & точке (хъ xt, t) недостаточно знания значений ф (*1, *») и ^(^, хъ) на окружности (yi — x1)i+(y2—xt)t= =t2. В определении и(хv хг, t) в точке (хъ х2, t) участвуют значения начальных данных ф(дсх, х2) и -ф (jcl ха) во всех точках круга d. А это означает, что в случае двух пространственных переменных хъ хъ в волновых процессах принцип Гюйгенса не имеет места.
3®. Уравнение колебаний струны. Формула Даламбера. Когда начальные данные ф и т|з зависят только от одного пространственного переменного x = xlt из формулы (11) получаем _____
-t _у>_;т,2
+ sr| $«p(*+»ii)*ii J Yf="- ~
-t -}rtr=^" 1,1 42
^j4(* + r|i) arcsin
t
Л2
+ 2S*' § <P(*+Hi) arcsin
У (2.
t t
_____d% +
-у*=ц ¦
у?-nf
_____*h=-
— j/> — nf
= 2 j 1l5(JC + Tl)dri+ \§t j Ф(^ + Г])сгг] =
x-U t
= g 4>l* + 9 + 2 ф(*-0+ 2 j 1HT)dT-
158
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Формула
и(х, 0= 2 ф(* + 0+ 2'ф(дс_0+^ j ty(T;)dx, (12)
х+‘
дающая решение задачи Коши для уравнения колебаний струны
ЛЯ,. Я9.«.
(13)
д*и д2и «
Их* dt* ~U
с начальными данными и(х, 0) = ф(*),
dt
называется формулой Даламбера.
4°. Понятия области зависимости, области влияния и области определения. В рассмотренной в предыдущих настоящего параграфа задаче Коши носителем начальных данных являет-ся все пространство Еп переменных (х1г ..., х„) — х.
Множество точек пространства Еп, по заданным значениям функций ф (х) и ф (х), на котором вполне определяется значение решения и (х, t) волнового уравнения в точке (дг, t) пространства Е„+1, называется областью зависимости для точки (х, t). К области зависимости, разумеется, не относятся точки, в которых значения ф(дс) и (х) не участвуют в определении и(х, t) в точке {х, t) (рис. 17).
Как уже было отмечено, в зависимости от того, п = 2 или п = 1, областью зависимости для точки (х, t) является круг \у — или сегмент \у — простран-
ства Еп, а при п = 3 область зависимости определяется по принципу Гюйгенса.
Пусть теперь носителем начальных данных является не все пространство Еп, а некоторая его область G, т. е.
«(*, 0) = Ф(*), = * = 0, *е(?. (14)
i 1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИИ
169
Как видно из формул (4), (11) и (12), значения <р(я) и ip (я) на О влияют на значения и(х, t) во всех точках (х, t) пространства Еп+1, которые обладают тем свойством, что пересечение двух множеств G и {\у — *|®-<f2} не является пустым. Множество всех таких точек принято называть областью влияния (рис. 18).
Множество точек (х, t) е E„+i, в которых значения и (х, /) вполне определяются по заданным значениям <р (дс)
и ijj(x) на G, называется областью определения или областью распространения волны и (х, t) с начальными данными на G (рис. 19).
Опять из формул (4), (11) и (12) видно, что при начальных данных (14) область определения волны и(х, t) составляют исключительно те точки (х, t) пространства Еп+1, которые обладают свойством: при п = 3 сфера \у — х\2=Р, являющаяся пересечением характеристического конуса \у — *|2 = (т— (f с вершиной в точке (х, t) с гиперплоскостью т = 0, принадлежит G, при п = 2 не только окружность \у — х|2 = /2, являющаяся пересечением характеристического конуса \у — х|* = (т — t)2 с вершиной в точке (дг, t) с плоскостью т = 0, но весь круг \у — х\принадлежит G и, наконец, при п = 1 не только точки х — t и x-\-t пересечения характеристических прямых у — х — = т — t, у — x—t — 1 (вырожденного характеристического конуса (у — *)2 = (т — })г), проходящих через точку (х, t), с прямой т = 0, но и весь прямолинейный отрезок между этими точками принадлежит G.
160 гл. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 2. Неоднородное волновое уравнение
1°. Случай трех пространственных переменных. Запаздывающий потенциал. За носителя начальных данных вместо плоскости ( = 0 примем плоскость t — xlt где tj — некоторый параметр, и обозначим через v(xu хг, х3, t, tj) решение волнового уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям
