Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 41

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 88 >> Следующая

dyi = 2 dihdXk' 8yi fe=1 fe.= i
то в силу (139) будем иметь
dy by dx бх Л,
cos ау by = i . |, I r = r-г ,, у-т = cos dx ox. y \dy\\by\ \dx\\6x\
Следовательно, для конформного отображения характерным является сохранение (консерватизм) углов.
Параллельный перенос y — x-\-h, преобразование подобия y = \ix и ортогональное преобразование у — Сх, где h = (hlt ..., hn) — постоянный вектор, ц — скалярная постоянная, а С — постоянная ортогональная матрица, дают тривиальные примеры конформного отображения в пространстве. В первом и третьем случаях Л,— 1, а во втором случае А, = ц2.
Отображение ^
У= 1ТГ* (141>
имеет смысл для всех конечных значений х, отличных от дс = 0, и оно называется инверсией или зеркальным отображением пространства Еп относительно сферы 1*1 = 1-
Умножая обе части равенства (141) скалярно на х, получаем
ху~ 1. (142)
На основании (141) и (142) заключаем, что |дс||у| = 1, т. е. при инверсии соответствующие друг другу точки х
и у лежат на одном луче, выходящем из точки 0, при-
чем произведение расстояний этих точек от точки 0 равно
единице. Так как T-^ = |i/|s, непосредственно получаем
! х I
однозначное обращение равенства (141) при хф0, уфО:
% в. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
153
Поскольку при хфО в результате дифференцирования равенства (141) имеем
А\x\*dx — 2(xdx)x аУ~ |Ж|«
для | dr/ |а получаем выражение
т. е. инверсия (141) при хфО является конформным, отображением, причем =
В случае п = 2 система (140) равносильна одной из следующих двух линейных систем:
дУ1_дУг=() дуг ду3 _ 0 дхг дхг ’ дхг ^ дхг
или
дЖ — dj/i дуг _»
dxt "г" дх2 ’ дхг дхг ’
и, следовательно, в этом случае теория конформных ото-, брожений полностью описывается теорией однолистных аналитических функций одного комплексного переменного z = *1 -f iXi или 2 — Хх — ix2.
В случае же п>2 система уравнений (140) относительно г/ь ... , уп является нелинейной, причем в ней число уравнений больше числа искомых функций.
Ответ на вопрос, насколько переопределена система (140), дает следующая теорема Лиувилля: в евклидовом пространстве Еп при п> 2 конформное отображение исчерпывается конечным числом суперпозиций четырех видов отображений — параллельного переноса, преобразования подобия, ортогонального преобразования и инверсии. На доказательстве этого утверждения мы здесь останавливаться не будем.
ГЛАВ A III
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Волновое уравнение
1°. Волновое уравнение с тремя пространственными переменными. Формула Кирхгофа. Ниже будем предполагать, что в пространстве Еп+1 точек (х, t) буква х обозначает совокупность пространственных переменных *i> *2» *з, a t — время.
В пункте 2° § 3 введения было доказано, что при требовании существования непрерывных производных второго порядка у функции ц(хъ хг, х3), заданной в пространстве Е3 переменных хъ xt, х3, функция
и (хи xit х3, t) = Ш (]и),
где
М (ц)=« J + *s + *is, x3 + tl3)dxyb (1) ill = i
представляет собой регулярное решение волнового уравнения с тремя прортранственными переменными
Щ ^ дх* ^ дх% dt* W
Так как элемент площади dsy сферы \ у — х\2 = Р равен t* do%, где do^ — элемент площади единичной сферы |?|*=1, то выражение
4^М(И) = 4^ J f* О/i» У», Уз) dsy (3)
|J^—л:|»
является интегральным" средним функции ха, ха)
по сфере \у — =
Очевидно, что наряду с Ш (ц) регулярным решением
уравнения (2) является и функция ^ [tM (ц)], если только ц,(дсь ха, х3) имеет непрерывные производные третьего порядка в пространстве Ея ее задания.
$ 1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
155
Легко видеть, что функция
и(х 1, ха, х3, 0-^М(Ч>) + ^-й[М(ф)1 (4)
является регулярным решением задачи Коши для волнового уравнения (2) с начальными условиями
где ф(*1, х2, *з) « i|>(*i> х3) —заданные в простран-
стве Е3 переменных xlt хг, х3 действительные функции, имеющие непрерывные частные производные третьего и второго порядка соответственно.
Действительно, как уже было отмечено выше, каждое слагаемое в правой части (4) является регулярным ре шением уравнения (2) во всех точках (хи xt, х3, t) пространства Еь переменных хх, хг, х3, t. При t = 0 на основании (1) из (4) имеем
и (*i, *s, х3, 0) = ^ J ф (хъ xt, х3) do,. = ф (xlt xt, хя).
ili=i
Далее, так как
Равенство (4), дающее решение задачи Коши (5), (6) для волнового уравнения (2) в случае трех пространственных переменных хъ хъ х3, называется формулой Кирхгофа.
Физическое явление, описываемое решением и(х, t) волнового уравнения, называется распространением волны, а само решение и{х, t) — волной.
Поскольку в силу формул (33) и (34) введения
и(х1( хъ хя, 0) = ф {хг, хЛ, х3),
(5)
(6)
то
|[Ш(Ф)] = А1(Ф) +
156 гл. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
где V —внешняя нормаль к S в точке у, из формулы Кирхгофа следует, что соответствующая задаче Коши (5), (6) волна в случае трех пространственных переменных в точке (х, t) = (хг, х^, х3, t) пространства Et вполне определяется значениями <р, ^ и if на сфере (ух — x{f 4-
-\-{У2 — Х2)2 + (у3 — х3)1 = Р с центром в точке (хи х2, х3) радиуса | /1. Этот факт в теории звука называется принципом Г юйгенса.
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed