Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
df
dz
k
О, 6=1............п, (123)
то функция /(г) называется аналитической в области D.
Равенства (123) представляют собой комплексную запись систем действительных равенств
ди dv п ди . dv п
дхЛ дук = °’ dyk + Wk~0' k~1' •••’"’ ' (С/?)
носящих название условий Коши — Римана для функции нескольких переменных /(г).
Выражение
П
dw = df= J WkdZk (124)
fc=i
называется полным дифференциалом аналитической функции /(г).
Из приведенного выше определения аналитической функции f(z) = f(zlt ..., zn) следует, что эта функция непрерывна по совокупности переменных zlt ..., zn и аналитична относительно каждого переменного zk в смысле определения аналитической функции одного комплексного переменного (см. пункт 1° § 1 настоящей главы). Имеет
s в. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
145
место и обратное утверждение: если в области D функция f (г) аналитична по каждому из переменных zk, k = = 1, ..., п, то она аналитична в области D. Содержание
этого утверждения известно под названием теоремы
Гартогса, которую мы здесь приводим без доказательства.
Коэффициент при dzk в правой части формулы (124)
называется частной производной аналитической функции f(z) по переменному zk и вычисляется по формуле
д/ lim / (^i* ^k~\~A?kt •••> zn) / (zi, Zk, ..., zn)
d*k Д2.-»о ^zk
я
_ du_ . . dv _ . du . dv
~~ dxk dxl~ ~ tdyk dyk’
Непосредственной проверкой легко убедиться в аналитичности полиномов от переменных гъ г„.
3°. Степенной ряд с несколькими переменными. Функциональный ряд вида
? akl... k^i1 • • •гпл> (125)
где —заданные числа, причем суммирование произ-
водится по всем индексам kjt /=1, ..., п, от нуля до бесконечности, называется степенным рядом нескольких переменных Z\, ..., г„ или кратным степенным рядом.
Известное из курса математического анализа утверждение (лемма Абеля), что сходимость степенного ряда одного переменного ?
k~ о
в точке г0фО комплексной плоскости г влечет за собой абсолютную сходимость ряда в круге | г | С | г01, перестает быть справедливым для рядов вида (125). Однако, если коэффициенты akl...kn степенного ряда (125) для всех значений индексов удовлетворяют условиям
ё k , Г,>О, (126)
'i1
еде g — положительное число, не зависящее от hx, ..., kn,
146
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
то этот ряд абсолютно сходится в открытом полицилиндре С (г, 0), г — (гг, ..., гп), причем сходимость равномерная на каждом замкнутом ограниченном подмножестве точек полицилиндра С (г, 0).
Заметим, что при геС(г, 0) ряд
g
kt>0.....0
представляет собой кратную геометрическую прогрессию, суммой которой является выражение
! гг | \-1
g
(‘
ISlIY-1
Гп )
Для каждого члена ряда (125) в силу (126) имеет место оценка
I aki — *n I
(127)
Из наличия оценки (127) следует справедливость сформулированного утверждения.
На основании абсолютной сходимости ряда (125) в полицилиндре С (г, 0) мы можем сгруппировать его члены таким образом, чтобы этому ряду придать вид
- (128)
где Рт (г) — однородные полиномы переменных zlt гп степени т.
Так как ряд (128) сходится равномерно на каждом замкнутом подмножестве полицилиндра С (г, 0) и Рт являются аналитическими функциями по каждому из переменных Zk, 6=1, ..., п, в силу первой теоремы Вейерштрасса (см. пункт 2° § 3 настоящей главы) заключаем, что сумма этого ряда s(z) аналитична по любому из этих переменных, причем каждый член продифференцированного, например, один раз по переменному zk, ряда (128) не превосходит по модулю соответствующего члена геометрической прогрессии, суммой которой является выра-
Жйний
it* - W-(‘ - w-
S 6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
147
Следовательно, в силу теоремы Гартогса сумма s(z) степенного ряда (125) является аналитической функцией в полицилиндре С {г, 0).
Все сказанное выше остается в силе при рассмотрении степенного ряда вида
2 ...(zi (zn -z°n)\
где z° = (zj.... z„)~конечная точка пространства Сп.
4°. Интегральная формула Коши и теорема Тейлора.
Пусть функция f (z) аналитична в области D с= Сп и точка г° е D. Для достаточно малых гъ ..., гп полицилиндр С (г, z0) лежит внутри D. Фиксируя значения переменных zk в кругах \zk — zl\<.rk, k=?j, аналитическую по переменному г} функцию /(г) в круге \ г1 — г)\<г1 можно представить по формуле Коши (47):
... 1 f / (2h •••> t/t ••• > гл) j.
№>-к . ------U=t,------
Повторением этого рассуждения заключаем, что для всех г е С (г, г°) имеет место интегральная формула Коши
f(z)_____L_ f dt, Г f(t}dtn
'W (2га)л, J J )’
|*я-г»|=.я (129)
В правой части формулы (129) интегрирование можно совершить в любом порядке, ибо подынтегральная функция непрерывна по совокупности переменных tu ..., tn. Из формулы (129), как и в пункте 4° § 3, заключаем, что аналитическая функция f (z) имеет производные всех порядков по переменным zlf ..., z„, которые в силу теоремы Гартогса сами являются аналитическими функциями в полицилиндре С (г, г°). Поскольку точка г°еО взята произвольно, тем самым доказаны существование и аналитичность всех производных аналитической функции f (z).
148
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
