Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 11

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 88 >> Следующая

Пусть D — произвольная область рассматриваемого поля с достаточно гладкой границей S, | D | — ее площадь,
/Ч /\
v = (cosvx, cos vy) — внешняя к S нормаль, a s*=(cossx,

cos sy) — единичный касательный вектор, направленный в сторону направления обхода S, оставляющего область D слева. Компоненты v и s связаны между собой очевидными равенствами
/X «о"Ч
COS vx — cos sy, cos vy — — COS sx.
Выражения
N = ^Evds, Аз-^Esds, s -s
где Ev и Es — скалярные произведения,
Ev = Ex cos vxr-f- Ey cos vy,
/N --- /N
Es = Ex cos sx + Ey cos sy = Ey cos vx — Ex cos vy,
называются соответственно потоком через контур S и циркуляцией вдоль S вектора Е.
2 А. В. Бицадзе
34
ВВЕДЕНИЕ
В силу формулы (GO) имеем
Стягивая область D в точку Р, в пределе получаем
N дЕх дЕу
lim -тг- = -5----д— = div Е,
d_p:Di дх ду
^ дЕу ЭЕХ
lim —=г = -з-з— = rot Е.
D-*P \ D\ дх ду
N
Поскольку, по определению, Л? = 4яе, lim i-K-r = 4jip,
D — P I и I
где е — суммарный заряд, лежащий в D, а р — поверхностная плотность заряда в точке Р, мы можем написать дЕх дЕ„
-^ + ^ = 4яР. (49)
Так как А представляет собой работу силы Е на пути S и поле статическое, то в силу закона сохранения энергии имеем /4=0, т. е.
дЕи дЕх
1*г-аг-°- (50)
В случае отсутствия зарядов в поле из (49) получаем
дЕх дЕи
тг + тг-0- (5|>
Равенства (50) и (51) означают, что выражения Exdx-\-+ Eydy и Eydx — Ex dy являются полными дифференциалами. Введем в рассмотрение скалярные функции v (х, у) и и (х, у) по формулам
dv = — Exdx — Eydy, du = — Eedx-\-Exdy.
Эти равенства означают, что
ди _ dv_ ди_______до_
1х ~ ду ’ ду ~ дх'
Функции и(х, у) и v(x, у) носят названия соответственно силовой функции и потенциала поля, а система уравнений (52), решением которой они являются, —системы Коши — Римана.
§ 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ЯВЛЕНИЙ 85
Таким образом, изучение плоского электростатического поля редуцировано к исследованию системы дифференциальных уравнений с частными производными (52).
Как будет показано ниже (см. гл. II, § 2, 5°), функции и (х, у) и v (х, у), представляющие собой регулярные реше ния системы (52), имеют частные производные всех поряд ков. Дифференцируя первое уравнение этой системы по х, а второе по у и складывая их, заключаем, что А и = ихх-1--f иуу = 0, т. е. и(х, у) является гармонической функцией. Аналогично убеждаемся в гармоничности и функции v (х, у)
2°. Колебания мембраны. Мембраной называется упругая материальная поверхность, которая в положении покоя имеет форму плоской области G и потенциальная энергия Ер которой в процессе колебания пропорциональна приращению площади.
Предположим, что область G лежит в плоскости пере менных х, у и прогиб мембраны и (х, у, t), т. е. вертикальное смещение точки (х, у) е G, — достаточно гладкая функция. Колебания мембраны будем считать малыми в том смысле, что при вычислениях можно пренебречь степенями величин и, их, иу, ut выше второй.
Так как в момент времени t площадь о мембраны дается формулой
а = iyI ul + uldx dy ^ (^1 + ~ ul ~ u^jdxdy,.
в а
а в положении покоя ее площадь | G| = $ dxdy,
G
то для потенциальной энергии Ер имеем Ер = jn ^ (ul + ul)dxdy.
Здесь коэффициент пропорциональности ц носит название натяжения мембраны.
Для кинетической энергии Ek мембраны имеем выражение
Ek — 2' \ Ри? dxdy,
О*
зв
ВВЕДЕНИЕ
где р — поверхностная плотность массы мембраны, a ut— скорость смещения.
В силу принципа Гамильтона интеграл f* it
UEk - Ер) dt = I J dt \ [pu\ - |i(u! + ый] dx dy, (53)
t, t, a
где (tlt t2) — промежуток времени наблюдения, должен быть стационарным. Следовательно, функция и {х, у, t) должна быть решением уравнения Эйлера вариационной задачи для интеграла (53):
W(рЫ/) _ “ i ^Uy) = °
или, считая р и ц, постоянными,
~utt-Au = 0, (54)
где а® = -^. Постоянная а носит название скорости распространения звука.
При исследовании уравнения (54) без ограничения общности можно считать, что а= 1, ибо простой заменой переменных
% = at, и (х, у, t) = u(x, У, У. *)
это уравнение принимает вид
vn — Да = 0.
Считая, что и не зависит от t, т. е. полагая, что в положении изгиба, описанном уравнением и = и(х, у), мембрана находится в равновесии, из (54) получаем Аи = 0. На этот раз уравнение Лапласа служит уравнением Эйлера вариационной задачи для интеграла Дирихле
D (ы) — J (ul + ul) dx dy,
а
представляющего собой потенциальную энергию мембраны в положении равновесия с прогибом и(х, у).
Действительно, предположим, что смещение границы (края) 5 области G является заданной функцией
и{х, у) = <р, (х, у)щЗ, (55)
$ 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ЯВЛЕНИИ *7
При вариации 6 и = ev функции и (х, у), где е — произвольное действительное число, a v — произвольная достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию
v(x, у) = 0, (х, y)(=S, (56)
для вариации 8D = D (ы -f- ei>) — D (и) интеграла Дирихле получаем выражение
SD = 2е $ (uxvx + UyVy) dx dy -f в2 ^ -f vl) dx dy.
a a
Поэтому необходимое условие минимума интеграла Дирихле имеет вид
5 (“Л* + UyOy) dx dy — 0. (67)
а
Учитывая то обстоятельство, что
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed