Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
i/2u| = - А + Ви + l/2cu2 -u3 = f (и), (5.65)
где А и В — константы интегрирования.
В гл. 2 мы видели, что в общем случае, когда (5.65) допускает ограниченное решение, полином f(u) имеет три вещественных нуля а, р, у (а > |3 > у) и (3 < м < а. Заметим, что уравнение (5.65) содержит три параметра с, А и В, и, следовательно, необходимо еще три закона сохранения для определения их медленного изменения в зависимости от х
и t. Сначала установим три независимых уравнения сохра-
нения.
Первое уравнение получается простой перегруппировкой
(5.61):
ut + (3 и2 + ихх)х = 0. (5.66)
Второе уравнение получается умножением (5.61) на и и перегруппировкой членов:
О/г»2), + (2 и3 + иихх — 7 2и\)х = 0. (5.67)
Третье уравнение сохранения получается умножением (5.61) на Зи2 и перегруппировкой членов:
(и3 — 42U2x)t + (9/2«4 + 3 и2ихх + 7г и\х + uxiit)x — 0. (5.68)
Процесс усреднения упрощается введением функции W(с, А, В):
W (с, А, В) = —§Uidu = — У2" ф (—А + Ви + y2cu2—u3)ll2du,
(5.69)
где интегрирование должно проводиться по полному циклу, например от р до а и затем от а до р. Как и в п. 5.3.2, длина волны и волновое число определяются путем дифференцирования (5.69) по А следующим образом:
я,
X = X (с, А, В) = ^ d\ = ф du/ui = (l/-\/2 ) ф du/^f (и) = WА,
0 (5.70)
k = k(c, А, В)= М[Х(с, А,В)} = l/WA, или kWA = 1. (5.71)
126
5. Групповая скорость; нелинейные волны
Найдем далее средние полевых величин на длине волны, как это было сделано в общей теории в разд. 5.2. Тогда
к
й = k ^ м d% — и dufu^ = (k/д/2 ) ф и du/л/f (и) — — kWв,
0 (5.72)
3и2 + игг = 3и2 -\-и„ = В-\-си — В — ck Wа, (5.73)
Т^м2 — (V2M2 du)/u^ = — kWс, (5.74)
2ы3 -f- иихх — У2м2 = 2м3 + ии^ — ’/г «g2 =
= Л + 1/гСм2 — Л — kcW с (Ыц и из (5.64) и (5.65)), (5.75)
и3 — У2и2х = и3 — 72И| — — м| — А + + ‘/гси2 = (из (5.65))
= kW - А + В (- kWB) + с (kWc) =
= - k (AWА + BWB + cWc - W), (5.76)
так как
k §) u^du/u^ = k (^> u^du =— и kW A=\, (5.77)
и, наконец,
V Ч- 3u2uxx V2w*x Ч- = 9/2m4 Ч- Зм2м„ -|- V2Mg| — cu? =
= V2B2 + 5сы - cu2 + V2c*«2 = (uK из (5.64))
= '/2fi2 + 5c (- 6ГВ) - с (- kW) + c2 (- kWc) =
= >/2fi2 + Ac — kc (AWA + BWB + сГс - Г). (5.78)
Подставляя эти средние в уравнения сохранения, получаем следующие усредненные уравнения сохранения:
(kW B)t + (ckW в — В)х — 0, (5.79)
(kWc)t + (ckWc-A)x = 0, (5.80)
[k (AWА + BWв + сВс - W)]t +
+ [ck (AWa + BWB + cWc — W) — Ч2В2 - Лс]* = 0. (5.81)
Как и в разд. 5.32, распишем (5.81), сохраняя kWA, kWB
и kWc вместе и собирая отдельно члены с производными по А, В, с. В результате получим уравнение
kt + (ck)x = 0, (5.82)
которое является законом сохранения для волнового числа, определенного здесь полностью согласно процедуре усреднения. Уравнение (5.82), выраженное через WA (kWA — 1),
5.4. Уравнение Кортевега — де Фриза
127
имеет вид
DWA/Dt - Wа дс/дх = 0, (5.83)
и уравнения (5.79) и (5.80) могут быть записаны как
DWв/Dt - Wа дВ/дх = 0, (5.84)
DWJDt - Wа дА/дх = 0, (5.85)
где D/Dt = d/dt + сд/дх. (5.86)
Уравнения (5.83) — (5.85) суть основные уравнения для изучения медленного изменения А, В, с. Эта информация позволит окончательно определить поведение « = «(?), где из (5.65) имеем
1 = (\/л/2) \du/\—A + Bu + 4icu~ -и3]1'2. (5.87)
Хотя уравнения (5.83) — (5.85) кажутся простыми, определять характеристическую скорость из них очень утомительно. Оказывается, легче работать с нулями а, {3, у функции /(«), чем с А, В, с. Из соотношений между корнями и коэффициентами кубических уравнений f(u) = 0 имеем
а + Р + Y = '/г*?. аР + Py + Ya =— В, а(3у = ~ А. (5.88)
В терминах а, |3, у можно записать W как
а
W = — 2У2 ^ [(а — и) [и — Р) (и — y)]' 2 du, (5.89) Р
так что
= 7з д/2 (а - Y) {(Р + Y - 2а) Е + (р - у) К}, (5.90а)
Гр = 2/з л/2 (<* - Y) {(« + Y - 2Р) Е + (р - у) К}, (5.906)
Г, = 2/з V2(«-Y) {(а + Р - 2у) ^ - 2 (р - у) К}, (5.90в)
где Е и К—полные эллиптические интегралы:
л/2 я/2
