Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
s р
1/( + Л1/, + ? Д(Я“Ж + /cg-^.)c/ = °. (IIB.la).
Р-1 а=1
Ниже мы рассмотрим более общую систему уравнений, описывающую распространение умеренно нелинейных волн в умеренно неоднородной среде:
s р
Ut + AUx+Y, П(Я“^+/С“^')[/ + В5-:=0’ (11Б-16)
Р=1 а=1
где последний член учитывает неоднородность среды согласно приложению IIA.
В уравнениях (ПБ.16) U есть вектор-столбец с п компонентами Ml, «2, •••, Un (n^ 2), А, На, Ка а В суть (пХл)-матрицы, элементы которых зависят от U и х в случае (ПБ.16) и только от (/-в случае (IIB.la), 5 — известная вектор-функция от х, р ^ 2; индексами х и t, как обычно, обозначены производные по пространственной координате и времени. Мы можем получить дисперсионное соотношение, рассматривая малые колебания U вблизи состояния равновесия U о
U ~U0 + Ui exp {/ (kx — «в/)}. (ПБ. 2).
€0
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
Подставляя (ПБ.2) в (ПБ. 1а) и оставляя только первую степень функции Uь получаем
{-(<о/Л)/ + Ай + Г1кр~1 t Й (A'So — (о»/Л) //go) | С/i = О,
I I Р = 1 а=1 )
(ПБ. 3)
где индекс 0 относится к значению U = U0. Уравнение (ПБ.З) дает дисперсионное соотношение в виде
- (<о/Л) /0 + Л0 + ip~lkp-1 t П (/СЙо - (Ф) Яао)
3=1 а-1.
¦ 0¦ (ПБ. 4)
Поскольку мы интересуемся длинными волнами, уравнение (ПБ.З) решается методом последовательных приближений в предположении, что k мало. Приближение нулевого порядка имеет вид
[— (со//г) / + Л0] t/10 = 0. (ПБ. 5)
Дисперсионное соотношение нулевого порядка является п-й степенью относительно со //г. Пусть ко—невырожденное собственное значение матрицы А0, k — левый собственный вектор, а го — правый собственный вектор матрицы А0 для к — = к0. Тогда в этом приближении имеем
со //г = Я0, U10 === г о (точнее, скалярная величина, кратная г0).
(ПБ. 6)
Следующее приближение получим подстановкой к0 = со//г и г0= U{ в члены возмущений. В результате имеем
( - (а/к) 1 + А0+ -Гхкр~х t П (KL - koHL) ) r0 = 0. (ПБ. 7)
(. (3 = 1 а=1 )
Умножая (ПБ.7) на левый собственный вектор /0, приходим к выражению
“IE П^°-ЯоЯ“°)1‘
IР=1 а=1 )
Продолжая аналогичным методом, можно получить более высокие порядки аппроксимации со /к в виде ряда
a/k = k0 + ClkpM + C2k1{p^l) + ..., (ПБ. 8)
fP~ll 1 *0
f i fi(*5o-V*8o)}'
(,На=1___________)
где Ci =--------^ (ПБ.9)
и т. д. Будем считать, что Ci =И= 0. Характеристики уравнения (ПБ.1а), укороченного в результате пренебрежения
Приложение ПБ
61
третьим членом, можно записать в форме
dx/dt + гКх + 0(е2), (ПБ. 10)
где е — малый (но не равный нулю) параметр, определяющий степень нелинейности. Сравнивая уравнения (ПБ.8) и (ПБ.10), мы видим, что между нелинейными эффектами и эффектами дисперсии (или диссипации) может возникнуть взаимодействие порядка г, если
k ~ еа, а = 1/(р — 1). (ПБ. 11)
Из (11Б Л 1) следует, что произведение е“ иа длину волны бу-
дет порядка единицы. Этот факт следует принимать во внимание при определении движущейся системы координат
g = e“(*-V), (ПБ. 12)
применимой для слабо нелинейных длинных волн. Дифференцируя (ПБ.12) по х, получаем
( 1 _ ЧЛй“) = 6 0 ~ Л0+8Л,+О(8г) ) =
— e“+1 {^iAo + О (е)}, или dl/d\\ — Aj/Aq + О (е),
где г| = ъа+хх. (ПБ. 13)
Это выражение определяет вторую «растягиваемую» переменную т|, связанную с первой переменной | соотношением dl/dr[ = 0(l). Дифференцируя (ПБ.12) по /, получаем
dl/dt = ea+i\Xl + 0(e)], (ПБ. 14)
что приводит нас к определению переменной т:
т = еа+Ч, (ПБ. 15)
характеризуемой условием d\/dx = 0(1). Таким образом, мы имеем две группы растягиваемых переменных: 1) |, г| и 2) т. Очевидно, что в задаче на начальные условия следует использовать первую группу переменных, а для краевой задачи — вторую группу. Характеристики в «растягиваемых» переменных принимают вид
dx/dt = Х0 + еЯ0 di/dr\ (ПБ. 16)
при использовании (ПБ.12), (ПБ.13) и
dx/dt = Х0 + dl/dx (ПБ. 17)
при использовании (ПБ.12), (ПБ.15). Из проведенного обсуждения ясно, что масштабы растягивания координат однозначно определены заданной системой уравнений (IIB.la). Если среда неоднородная, как это имеет место в большинстве
