Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Приложение IIA
57
первая и вторая производные по х (р — 2, s = 3),
- и р 0 и г 0 -]
А = 0 и 1/Р S = 1п а, В --- --- Р/Р
. 0 УР и _ _ (Y --- 1 )ир.
*1 =
О
о
С,
о
о
lC4
о
о
с2
о
о
о -I
о
Сз
о -1 о
к\ =
к? =
Ki
р о о О и О О О р ¦р о Оп ООО
.0 о о о
к* = 1,
о с4 о о
о о
. С5— с,р — Сф —С2и С6 — сзр — С4р где / — единичная матрица третьего порядка, а
Ci = — (Y — 1№р, С2---------(V — 1) Д,
С3 = -(у-1)х7’да. С4 = -(у-1)хТ№,
С5 = -(ч-\)уТ~р, c6 = — (Y — 1)%Тр.
Заметим, что мы пренебрегли зависимостями Д, у, Гр, Тр, Трр„ Трр, Трр от х.
Распространение волн на мелкой воде с неровным дном
Для длинных береговых волн Перегрин [1967] получил
следующую систему уравнений:
'/Stf-J-V[V-(//u)] = 0,
(IIA. 13а)
dh W
+ (u . у) u + Vft + ‘/6Я2 4 V (V • u)
a;
+ V-[(H + h) u] = 0,
(IIA. 136)
где u — горизонтальная скорость, осредненная по вертикальному направлению, Н — глубина при спокойной воде, зависящая от горизонтальной координаты, a h — амплитуда волны. Если ограничиться движением только по оси х, то эти уравнения примут вид
ht + uhx + (H + h)ux + uHx = 0, (IIA. 14а)
и, + иих + hx- ЧгН (Hut)xx + 76H2utxx = 0. (ПА. 146).
Заметим, что уравнение (IIA.14а) содержит только первые производные по х и t, однако уравнение (IIA.146) содержит
58
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
производные третьего порядка, из которых производная по х повторяется дважды, а по t — только один раз. Эти замечания полезны для правильного выбора матриц На и Очевидно, здесь р = 3, когда мы превратим уравнения (НА. 14)
в (IIA. 12). При этом мы положим U = ? ^ J; и далее s == 1,
Г и Н + hl Ги!
A = h и [ 5 = Я’ В = [о\'
н\ = #2 = 0, #з = [° ^],
к'' = [~‘1н Ч°Л Kl = l- Ki = 0’
чтобы свести систему уравнений (IIA.14) к виду (IIA.12).
Оба приведенных выше примера распространения волн в неоднородной среде были рассмотрены Асано и Оно [1971]. В дополнение к двум этим примерам они рассмотрели также наклонное распространение магнитоакустической волны. Та-ннути и Вэй [1968] описали два примера распространения волн в однородной среде, а именно волн в движущемся газе и ионно-акустических волн. Используя метод сингулярных возмущений, они развили стройную теорию сведения данной системы уравнений в стандартной форме (IIA. 12) без последнего члена, т. е. пренебрегая неоднородностью среды, к одному нелинейному уравнению в частных производных, причем это было сделано при предположениях слабой нелинейности, умеренности эффектов дисперсии и диссипации, а также большой длины волны. Ниже (приложение ПБ) для учета умеренной неоднородности мы обсудим теорию сведения в форме, предложенной Асано и Оно.
Другие исследователи для получения уравнений Бюргерса и КдФ (см., например, Лейбович и Сибасс [1972]) использовали «метод нескольких масштабов». Их метод является по существу модификацией процедуры, предложенной Таниути и Вэем [1968]. Прасад и Равиндран [1977] разработали более общий метод получения аналогичного эталонного уравнения для распространения изогнутых волн в многомерных средах.
ЛИТЕРАТУРА
Асано, Оно (Asano N., Оно Н.)
[1971] Nonlinear dispersive or dissipative waves. — J. Phys. Soc. Japan, v. 31, p. 1830—1836.
Джеффри, Таниути (Jeffrey A., Taniuti T.)
[1964] Nonlinear wave propagation. — New York: Academic Press.
Приложение ПБ
59»
Лейбович С., Сибасс A. (Leibovich S., Seebass A. R.)
[1972] Nonlinear waves, Chapter IV.— Ithaca: Cornell University Press._ [Имеется перевод: Лейбович С., Сибасс А. Нелинейные волны.— М.: Мир, 1977.]
Перегрин (Peregrine D. Н.)
[1967] Long waves on a beach. — J. Fluid Mech., v. 27, p. 815—827. Прасад, Равиндран (Prasad P., Ravindran R.)
[1977] A theory of nonlinear waves in multi-dimensions: with special reference to surface water waves. — J. Inst. Math, and its Appl,,. v. 20, p. 9—20.
Таниути, Вэй (Taniuti Т., Wei С. С.)
[1968] Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation.—-I. — J. Phys. Soc. Japan, v. 241, p. 941—946.
Приложение ПБ
Метод сведения к эталонному уравнению
Чтобы получить масштабы растяжения координат, рассмотрим сравнительно простой случай системы уравнений, описывающей распространение умеренно нелинейных волн в, однородной среде:
