Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение Хироты
Хирота (Hirota R.)
[1973] Exact envelope — soliton solutions of a nonlinear wave equation.— J. Math. Phys., v. 14, p. 805—809.
Уравнение Борна — Инфельда
Борн, Инфельд (Born М., Infeld L.)
.[1934] Foundation of a new field theory. — Proc. Roy Soc., v. A144, p. 425—451.
[1935] On the quantization of the new field equations. Part. 1. — Proc. Roy Soc., v. A147, p. 522—546; Part 2. — Proc. Roy Soc., v. A150, p. 141 — 166.
Ольсен (Olsen S. L.)
[1972] On the quantization of the Born — Infeld theory. — Lett. Nuovo Cim., v. 5, p. 745—747.
Портер (Porter J. R.)
[1972] Peeling and conservation laws in the Born — Infeld theory of electromagnetism. — Proc. Cambridge Philos. Soc., v. 72, p 319— 324.
Фенберг (Feenberg F.)
[1935] On the Born — Infeld field theory of the electron. — Phys Rev v. 47, p. 148—157.
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПЕРЕВОДЧИКОМ
Барбашов Б. М., Черников Н. А.
[1966] Решение и квантование нелинейной модели типа поля Борна — Инфельда. — ЖЭТФ, т. 50, с. 1296—1308.
Приложение 11А
55
Уравнение самоиндуцированной прозрачности
Ламб (Lamb G. L.)
[1971] Analitical descriptions of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium, — Rev. Mod. Phys., v. 43, p. 99—124. Макколл, Хан (McCall S. L., Hahn E. L.)
[1965] Coherent light propagation through an inhomogeneously broadened 2-level system. — Bull. Amer. Phys. Soc., v. 10, p. 1189.
[1967) Self-induced transparency by pulsed coherent light. — Phys. Rev.
Lett., v. 18, p. 908—911.
[1969] Self-induced transparency. — Phys. Rev., v. 183, p. 457—485.
Пр иложение IIA
УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ТРУБАХ И ВОЛНЫ НА МЕЛКОЙ ВОДЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ
В этом приближении мы рассмотрим две физические задачи и приведем их волновые уравнения к общему виду. В следующем приложении (ПБ) мы опишем метод, с помощью которого это общее уравнение сводится к эталонному. Забегая вперед, заметим, что первая задача приводит к обобщенному уравнению Бюргерса, а вторая — к обобщенному уравнению КдФ. В гл. 1 и 2 было рассмотрено распространение волн в однородных средах. Мы умышленно выбрали две указанные выше задачи, в которых рассматриваются волны в неоднородных средах, чтобы подчеркнуть тот факт, что даже в случае распространения волн в неоднородной среде эталонные уравнения с переменными коэффициентами могут адекватно отобразить реальную физическую ситуацию.
Течение газа е трубах
Рассмотрим распространение волн в жидкости (газе), текущей по каналу (трубе) переменного сечения. Предположим, что все переменные, характеризующие поток, постоянны по-сечению трубы, т. е. движение можем считать одномерным. Для них имеются следующие уравнения (Джеффри, Таниути [1964]).
Уравнение непрерывности
(рст), + (ирст)* = 0, (IIA.1)
где о — площадь поперечного сечения канала с координатой х, р — плотность и и — скорость жидкости.
Уравнение движения
ut + иих 4- (1/р) рх — (1/р) цихх = 0, (IIA. 2)
где р — давление и ц — коэффициент вязкости.
56
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
Уравнение энергии
((°c)t ~h {Qg)x ~ 0> (IIA. 3)
где со = V2p«2 + р/(у — 1) (II 4 4)
— плотность энергии, и
q = (со + р) и — циих — %ТХ (ПА. 5)
•— поток плотности энергии, у — отношение теплоемкостей (считается постоянным), % — теплопроводность.
Уравнение состояния. Будем предполагать, что между давлением, плотностью и температурой существует следующее соотношение:
р = р(р,Т), (ПА. 6)
где Т может быть выражено через р и р. Удобно считать рст = р, и и ро = р зависимыми переменными и рассматривать их как элементы вектора-столбца U:
(IIA. 7)
При этом введем
Д = М'СТ, Х = (IIA. 8)
Средние значения этих величин будем считать постоянными. Рассматриваемые уравнения можно записать через переменные и параметры с чертой в следующем виде:
Р< + и9х + 9их = 0. (IIA. 9)
щ + иих + (1/р) рх — (р/р) Sx — (Д/р) ихх = 0, (IIA. 10)
Pt + иРх + УРих + (Y — 0 uPSx — A (Y — 0 и1 — (У — 0 Рхиих ~
- (Y - 1)х [Р^рр + 2РхРхТрр + Р1Трр + ТрРхх + ТрРХХ] -
-(Y-Dx.FpP х + ТрРх}=°- (ПА. И)
Внимательное исследование этих уравнений показывает, что их можно записать в следующем общем виде:
s р
Ut + AUx + Y, П(Я“Ж + *“-|г)^ + В5* = 0’ (ПАЛ2>
3 = 1 а=1
гдеЯа = 0, так как в уравнениях (IIA.9) — (IIA.11) после выделения первого члена Ut производные по t отсутствуют, а принимает значения 1 и 2, поскольку в них имеются только
