Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бхатнагар П. -> "Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах " -> 17

Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.

Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах — М.: Наука, 1989. — 134 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniesistemivodnorodih1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 52 >> Следующая


Первое появившееся в печати свидетельство о существовании уединенных волн имеется в статье Скотт-Рассела [1844]. Ниже мы воспроизводим из этой статьи интересное и захватывающее описание уединенной волны, которую он случайно увидел.

Однажды я наблюдал движение лодки, которую быстро тянула вдоль узкого канала пара лошадей. Внезапно лодка остановилась, однако этого не случилось с массой воды, приведенной лодкой в движение. Вода сначала собралась около носа судна, где она забурлила, и затем неожиданно с большой скоростью выкатилась вперед, приняв форму уединенного крупного возвышения — округлого, гладкого и резко очерченного, которое продолжало свой путь вдоль канала без заметного изменения формы и скорости. Я последовал за ним верхом и, нагнав его, обнаружил, что оно все еще катится со скоростью 8—9 миль в час, сохраняя первоначальную форму: оно было длиной порядка 30 футов и высотой 1 —1,5 фута; его высота постепенно уменьшалась. Я гнался за ним пару миль, пока не потерял из виду в извилинах канала. Такова была моя первая случайная встреча в августе 1834 г. с этим редким и красивым явлением [).

2.6. Некоторые другие уравнения эволюции, порождающие солитоны

Имеются также другие уравнения эволюции, допускающие солитонные решения. Выпишем несколько таких уравнений.

>> Это описание, сделанное известным английским кораблестроителем, относится к одной из лодок, с помощью которых на конной тяге со скоростью И—14 км/ч осуществлялось пассажирское сообщение по сети неглубоких каналов (1—1,5 м), покрывавших Англию в прошлом веке. —. Прим. перев.
2.6. Некоторые другие уравнения эволюции

47

2.6.1 Обобщенное уравнение КдФ

Обобщенное уравнение КдФ

Ф, + аф'Ч + Ф ,, = О,

2г+1 раз

где а = const, а р, г — неотрицательные целые числа, имеет следующие важные частные случаи, допускающие решение в виде уединенной волны:

(1) г = 0, р = 0: бездисперсное линейное уравнение, дающее солитонное решение;

(2) r= 1, р—нечетное число: уравнение допускает солитонное решение с sign (амплитуда волны) = sign (а);

(3) r= 1, р — четное число: уравнение допускает либо солитонную волну сжатия с sign (амплитуда волны) = = sign (а), либо солитонную волну разрежения с sign (амплитуда волны) = —sign (а);

(4) г = 1, р = 2: уравнение описывает акустическую волну в некоторых ангармонических решетках (Забуски [1967]) и альфвеиовскую волну в бесстолкиовительной плазме (Каку-тани и Оно [1973]);

(5) регуляризованное уравнение КдФ (Бенджамин, Бона и Магони [1972])

ф< + Ф* + ФФ* — 4>xxt = 0.

2.6.2 Уравнение Буссинеска

Уравнение Буссинеска

4>хх — ф« + 6 (ф2)** + <Рхххх — 0

описывает волны в мелкой воде, распространяющиеся в обоих направлениях (Тода и Вадати [1973], Прасад и Равиндран Т977]), одномерную нелинейную волну в решетке (Забуски 1967]). Недавно Хирота [1973] с помощью численных расчетов показал, что это уравнение обладает солитонными решениями.

2.6.3. Уравнение sin-Гордона

Уравнение sin-Гордона ф хх Фtt — sin ф описывает рас-пространение дислокаций в кристалле (Френкель и Конто-рова [1939], Кохендёрфер и Сигер [1950] и Сигер, Донт и Кохендёрфер [1953]), движение стенок Блоха в магнитных кристаллах (Бин и де Блуа [1959], Дёринг [1948], Меников [1972]), распространение «скошенной волны» вдоль липидной мембраны (Фергасон и Браун [1968]), унитарную теорию элементарных частиц (Энц [1963], Розен и Розеншток
48

2, Некоторые нелинейные уравнения эволюции

[1952] и Скирме [1958, 1961]) и распространение магнитных потоков в линии Джозефсона (Кулик [1966], Лебволь и Штефен [1967], Скотт [1967], Скотт и Джонсон [1969], Скотт [1970]).

2.6.4 Нелинейное уравнение цепочки

Нелинейное уравнение цепочки

mdP-yJdt2 = а [ехр (brn) — ехр (— brn+x)\, п= 1, 2, 3, 4, 5, ... ;

a, b — const, гп = уп — уп_и

называемое уравнением Тоды (Тода [1967а, 19676, 1968, 1969, 1970], Тода и Вадати [1973]). Оно описывает движение в одномерной цепочке масс, взаимодействующих через нелинейный потенциал

•ф (гп) = (Ф) ехр (— Ьгп) + агп — а/Ь.

Изменяя величины а и Ъ, можно перейти от линейного случая (а->-оо, Ь-*¦ 0, ab конечно) к случаю твердых сфер (Ь ->- оо, а-> 0, ab конечно).

2.6.5. Нелинейное уравнение Шредингера

Нелинейное уравнение Шредингера q>xx -f г'Ф< + /С|ф|2ф = = 0 описывает стационарное двумерное самофокусирование плоской волны (Келли [1965], Таланов [1965], Беспалов и Таланов [1966]), одномерную самомодуляцию монохроматической волны (Таниути и Васими [1968], Асано, Таниути и Ядзима [1969], Карпман и Крускал [1968], Хасегава и Тап-перт [1973]), явление самозахвата (самоканализации) в нелинейной оптике (Карпман и Крускал [1968]), распространение теплового импульса в твердом теле (Тапперт и Варма

Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed