Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно спектральному представлению (16.122) точный пропагатор S^(p,)
при переходе на массовую поверхность равен Z2/(pl - М) и в точности
сокращается оператором Дирака, так что в результате мы получаем множитель
Vz2 в числителе. Аналогичный результат имеет место для пионного
пропагатора и волновой функции. Отметим еще, что функция Грина sy(p)
§ 133]
Я-МЕЗОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ ВПЕРЕД
267
промежуточного нуклона в (18.104), согласно представлению Челлена -
Лемана, вблизи полюса также ведет себя как Z2/{p-M).
Величина Г5 (pr, р) представляет сумму всех компактных, вершинных
диаграмм, т. е. таких вершинных диаграмм, Которые не могут быть разделены
на несвязанные части мезонной или нуклонной линией. При р\-*М, т. е. в
полюсе, отвечающем промежуточному нуклону, Г5(pi, р) должна быть
пропорциональна матрице у5, что можно показать так же, как мы вывели
формулу (10.157). Все множители pi в Г5 следует перемещать налево или
направо до тех пор, пока они не окажутся рядом со спинорами й{р\) или
и(р\), после чего их можно заменить на М. Поправки, пропорциональные р-
М, исчезают, коль скоро мы интересуемся поведением вершинной функции
вблизи полюса. Инвариантные форм-факторы в Г5 зависят от р2 = р2 = М2 и
q2 = (р - р,)2 = р.2. Поэтому коэффициент при матрице у5 равен просто
числу. Мы определим его следующим образом:
- Z2Zll2g0V5 (pi, р)
р2-+М2
Подставляя (18.105) в (18.104), мы воспроизводим старый результат (10.56)
теории возмущений с заменой голой константы go на g:
^poleOp Pv S1) = 4rc7" =
_ 0 2 Й (ръ Si) V5 (Pi - <?1 + M) y5и (pi, Si) _
g (pI - <?.)2 - M2
"P" (Pi-P (18.106)
" в
где
( S' \ Ц2 = f2 \ 4л ) 4M2 ~1
есть рационализованная и перенормированная константа пион-нуклонной
связи.
Используя далее формулу Коши и контур С в интеграле, изображенный на рис.
18.31, мы можем выписать дисперсионные соотношения, аналогичные
соотношениям (18.81) для я - я-рассеяния вперед, с той лишь разницей, что
теперь добавляется вклад полюсного члена. Объединяя выражения (18.100),
268 ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ [ГЛ. 13
(18.103) и (18.106), получаем
-Ц оо
Т (со) = - [ d(i>'Im Т ((о ) 4- - ^ da'Im Г(м ) 4- 2f2 4- С =
' ' я J со' - <в - ге я J со' - со - ге со - о" 00
- 00 JX
г/со' Усо'2 - р2 afot р (- со')
4я2 S
СО -СО - 18
1 Г г/со' Усо' - р2 af0tp (m') 2/2
4я2 J со' - со - ге о-шв °°'
м.
Взяв действительную часть этого выражения и скомбинировав первый и второй
члены, получим окончательную форму дисперсионных соотношений для я+- р и
я- - р-рассеяния
Re (со) =
ОО ---------
- ~i ¦р j МС' <"')+¦*' <"'"]+
+ (r) [°fotP М - <tP ("')]} + Сп,
Rer(""p)(co)= -
2 f2
(О + (Ofi
- iр S 'УУт11'- КК' м+С- ("')] -
М-
- (r) [стГоТР Ю - °?о? ("')]} 4- <У. (18.107)
Эти соотношения удобно записать, введя полусумму и полураз-ность
амплитуд:
Т+ = '/2 [Т (со) 4- Т (- со)] = >/2 [Г("+р) (со) 4- г("-р) (со)],
Т~ = - V* [Г (со) - Т (- со)] = >/2 (со) - (со)].
Полагая, в частности, что для нечетной амплитуды Г- справедливо
дисперсионное соотношение без вычитаний, получим важное соотношение
Re Т~ (со) 2/2 .
" 2 2 I
(c) (c) - юъ
1 Г d(?>' У со'2 - р2 (">') - tffotр (со')]
+ - р\ 1--------------------------- LJ°-----------tot J. (18.109)
4я2 J со - со2
Р
§ 1331
я-МЕЗОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ ВПЕРЕД
269
Формула (18.109) связывает между собой экспериментально измеримые
величины и содержит лишь один свободный параметр при условии, что
lim КТР ((r)) - ашР (")] °- (18.110)
0->С5О
Экспериментальные данные указывают на то, что соотношение (18.110) по-
видимому выполняется. При энергиях ~ 10 Гэв разница сечений составляет *)
((r)) - ((r)) _ 2 • 10~27 см2
U,Uo.
° 25-10 см'
Выражение (18.109) позволяет экспериментально определить величину /2, она
оказалась равной [89]
/2 = 0,080 ± 0,001. (18.111)
Этот результат является наибольшим достижением метода дисперсионных
соотношений.
Результат (18.111) мало чувствителен к поведению сечения при со-*-оо.
Если, однако, будущие эксперименты покажут, что условие (18.110) не
выполняется, то в дисперсионных соотношениях нужно будет сделать
вычитание, записав их для амплитуды Т~ (со)/(r) (со2 - со2), где со2 ^ р.2
- вычитательная точка. Тогда, выбрав, например, й>0 = р, мы получим
вместо (18.109) Re Т~ (со) Т~ (р) ¦ 2f2 (ю2 - р2)
ш р (ю2-(о|)(р2-ш|)
(О2 - Р2 n f da[o^ (о/) - g"~P (о/)] nRn^
Дисперсионный интеграл в (18.112) теперь сходится на бесконечности
гораздо быстрее. Однако (18.112) в этом случае содержит дополнительную
величину - амплитуду рассеяния на пороге Т~(р), которую необходимо
определять из опыта.
') В исследовании рассеяния адронов при высоких энергиях с момента
написания книги был достигнут существенный прогресс, связанный с
введением в строй больших ускорителей в СССР и США и ускорителя на
встречных пучках в ЦЕРН'е. Интересующегося читателя мы отсылаем к
недавним обзорам [136, 137], где имеется также исчерпывающая
библиография. Отметим здесь только, что малость отношения А а/а при
