Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
от -р до -оо и полюса в точке со = -)-р2/2Л1. Поэтому, используя контур
С, указанный на рис. 18.31, можно выписать для Г(со) дисперсионные
соотношения, связывающие эту амплитуду с ее абсорптивной частью и вкладом
полюса.
На этом этапе нужно использовать условие унитарности, которое позволяет
выразить мнимую часть амплитуды рассеяния вперед через полное сечение и
тем самым установить связь между измеренными на опыте величинами. В силу
унитарности S-матрицы (см. (16.69))
264
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
или, в терминах матричных элементов, описывающих переход из начального
состояния i в конечное состояние /,
Z S'nfSm^bfi. (18.94)
все п
Введем амплитуду перехода f\
Sf, = 6fl - i (2я)4 64 (Pf - P{) fft, (18.95)
для которой') условие унитарности имеет вид
f,t " П = ~ * I (2 Я)4 б4 (/>, - Рп) rnlfnr (18.96)
П
Левая часть этого соотношения представляет удвоенную мнимую часть
амплитуды рассеяния на нулевой угол, а правая
Рис. 18.31. Контур в ш-плоскости, используемый при выводе дисперсионного
соотношения для амплитуды рассеяния л+-мезона на протоне вперед
часть связана с полным сечением. Вспоминая правила нормировки амплитуд из
гл. 7 (и, в частности, формулы (7.35) -
(7.42)), мы получаем
°tot = S 64 I I2- (18.97)
и1аЬ
п
Множитель tiiab есть скорость пиона в лабораторной системе, а множитель
(2я)6 обусловлен множителями (2я)-3/2 в волновых функциях налетающих
частиц. С учетом (18.96) имеем
1 (со)
Im fH И = ~ у "1аЬ • (18.98)
¦) Мы по-прежнему рассматриваем рассеяние вперед, в этом случае / = "'•
§ 133,
я-МЕЗОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ ВПЕРЕД
265
Свяжем далее амплитуду f и с инвариантной амплитудой Г (о"), выделяя все
нормировочные множители и спиновые функции нуклонов. Из определений
(18.86) и (18.89) получаем, в полной аналогии с (18.89),
f и = - (2яр'2м 3)1 fo' Ри = ~(2л?'2ю №яй (ри Si)T{<o)u{pu Sj)],
(18.99)
поэтому
lxn Т (со) = - (со), k = oaУ1аЬ = д/со2-м-2, ю>р. (18.100)
Легко видеть, что амплитуда Т весьма просто связана с сечением упругого
рассеяния на нулевой угол; из оптической теоремы, с учетом используемой
нормировки, следует
("-ЮН
Этот результат может быть также непосредственно выведен из формул (10.54)
и (10.68).
Уравнение для скачка (18.100) справедливо только в физической области со
^ р. Поэтому необходимо еще вычислить вклад от левого разреза со ^ -р и
полюса. Поскольку левый разрез отвечает физической области "-канала, т.
е. реакции л- - р-рассеяния, мы можем, используя свойство кроссинг-
симметрии амплитуды, выразить скачок на этом разрезе через сечение я~- р-
рассеяния. Как обсуждалось в § 120, точная амплитуда я-мезон-нуклонного
рассеяния инвариантна при одновременной перестановке изотопических
индексов пионов (частица -<-> античастица) и 4-импульсов пиона в
начальном (qi) и конечном (-q2) состояниях. Для рассматриваемого случая
рассеяния вперед эта замена сводится к замене со •*-"• -си и я+ •*-> я-:
Т (со) = г(*+р) (со) = г(*"р) (- со). (18.102)
Аргумент амплитуды я+- протонного рассеяния лежит на верхнем берегу
разреза со ^ р, а аргумент амплитуды я~- протонного рассеяния лежит на
нижнем берегу разреза со ^ -р. Действительно, амплитуда (18.91) может
быть, как и в случае я- я-рассеяния вперед, разделена на две части, одна
из которых отвечает вкладу ? > 0, а другая - вкладу ? < 0. Подчеркнем это
обстоятельство, записав (18.102) в виде
уСя+р) (_ и _ ie) = ^(я р) ie)t
266
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
поэтому
1гп Т{-л+Р) (- со) = -JT [Т{-п+Р) (- (о + te) - Т{-п+Р) (-со - г'е)] =
= + ^г*?о?и- (18Л03)
После того, как мы выразим скачок на левом разрезе через сечение, нам
остается только вычислить вычет в полюсе со = = cds = ц2/2М. После этого
амплитуда рассеяния вперед целиком будет выражена только через
экспериментальные величины. Покажем, что вклад полюсных членов по-
прежнему дается выражением, полученным в гл. 10, с заменой голой
константы связи go перенормированным значением g.
Для этого нужно вычислить вклад всех фейнмановских графиков типа,
изображенных на рис 18.29, т. е. имеющих вид двух вершинных блоков,
соединенных нуклонным пропагатором. Согласно сказанному перед формулой
(18.93) о приведенных графиках эти диаграммы достаточно вычислить лишь
вблизи полюса нуклонного пропагатора. Как было отмечено выше, в it+ - р-
рассеяние вносит вклад только один график (см. рис. 18.29,6).
Инвариантная амплитуда, сопоставляемая указанной диаграмме, равна
~ ^poie0i> р" s,) = Z2Z (- ig0 У 2)2 X
X й(р,, s,) г'Г5 (pjj р) iS'P (р) гТ5 (р, р,)и(р1, (18.104)
P = Pi - 41-
Кинематика в (18.104) отвечает рассеянию вперед: р2 - pi и q2 = qx.
Множители Z2 и Z возникают при перенормировке волновых функций нуклона и
пиона, как это следует из редукционных формул (16.81) и (17.43).
Множитель Vz (18.104) получается при выделении пропагаторов внешних
частиц. Действительно, выделяя внешние концы, например в (17.43), получим
S d*X~jT eip'xa(Pi) - M)S'F(x - y)...= д/Т2 е'Р'уй (р,) ...
