Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
практическое значение.
Описанную выше технику можно применить для изучения аналитических свойств
и вывода дисперсионных соотношений в других случаях, например для
рассеяния я-мезонов на нуклонах вперед или для парциальных амплитуд
нуклон-нуклонного рас-
Рис. 18.27. Контур s-плоскости в дисперсионном интеграле для парциальной
амплитуды л - я-рассеяния.
§ 133]
Я-МЕЗОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ ВПЕРЕД
261
сеяния. Следует при этом отметить, что когда в рассеянии участвуют
частицы с разными массами, кинематические усложнения и трудности,
связанные с аномальными порогами, значительно усложняют существо вопроса.
§ 133. Применение к л-мезон-нуклонному рассеянию вперед
Наиболее важным и плодотворным примером применения техники дисперсионных
соотношений является анализ пион-нуклонной амплитуды рассеяния на нулевой
угол [88]. Как и во всех вычислениях, в рамках дисперсионной теории для
такого анализа необходимо следующее:
1. Выделить скалярные функции /щ зависящие только от инвариантов (см.
(18.31)), отделив при этом все спиновые и изоспиновые множители.
2. Изучить аналитические свойства форм-факторов, выявляя для этого с
помощью техники
редуцированных графиков либо s-*~ jZV/ZZ/A
другими алгебраическими спосо- ^
бами сингулярности, происходя- ^"Г/ротон /Гротон
щие от знаменателя J. pt,sf pg~st
3. Из оптической теоремы вы- fl?*
числить скачок на разрезе, после -(?2~W
чего можно вывести соотношения, аналогичные соотношениям Рис. 18.28.
Кинематика я-мезон-Крамерса - Кронига (18.11) и протонного рассеяния.
(18.12).
Рассмотрим рассеяние я+-мезона на протоне. В этом случае усложнения,
обусловленные изоспиновой кинематикой, отсутствуют. Обозначим амплитуду
через Ш{р2, рг, Sf, Я\, рь si), где спины и импульсы указаны на рис.
18.28. Разложение амплитуды по инвариантным лоренцевым скалярам сводится
к выражению
3%(Я2> Pi, s2, Яи Рь Sl) =
= й (р2, s2) [A (s, I) + Ч2 (fa + fa) В (s, t)] и (рь Si). (18.86)
Действительно, используя уравнения Дирака, легко проверить, что члены,
содержащие fa и fa, снова приводятся к виду (18.86), например
piu(pu si) = Ми (рь Si).
Инварианты s и / определяются так же, как и в случае я - я-рассеяния (см.
рис. 18.28):
262
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
В том частном случае, когда рассматривается рассеяние вперед, более
удобно вместо s использовать лабораторную энергию пиона со:
Pl?l ____ s ^ . /10 QOl
М 2М ' (18.88)
при этом амплитуда выражается через один форм-фактор Т, представляющий
линейную комбинацию форм-факторов А и В:
Ш(Чи Рь Si) = 4itu(pi, Si) Т (со) и (рь s{), (18.89)
где 4пТ (со) = A (s, 0) + соВ (s, 0). (18.90)
Нашей задачей является вывод дисперсионных соотношений для Г (со).
я1 7S я
л V/ ъ/ в ^ V,
Pf s-M2 Рг Р/ \ s=M2+2fi2 Рг
\
Я
aj ф
Рис. 18.29. Полюсные члены в рассеянии я-мезона на нуклоне.
Прежде всего необходимо выяснить аналитические свойства Г (со), что можно
сделать тем же способом, который был использован для амплитуды я - я-
рассеяния. Вклад любого графика в Г (со) можно записать в виде,
аналогичном (18.78),
/<a>=S<|8-9|>
о
Для доказательства аналитичности функции /(со) в разрезанной со-плоскости
снова нужно найти интервал вещественных значений со, на котором
знаменатель J не обращается в нуль и, следовательно, 7'(со)
действительна.
Амплитуда Г (со), без сомнения, комплексна при со ;> р или s>(M + p)2,
поскольку при этом мы попадаем в физическую область я+- р-рассеяния.
Точно так же 7'(со) комплексна в физической области w-канала: и =
{р2 - р)2 > (М + р)2 или
со <-р, которая, согласно правилу подстановки (см. (17.45)), отвечает
рассеянию л_-мезона на протоне. Поэтому единственной областью, где
амплитуда Г(со) может быть вещественной, является интервал -р ^ со =g; р.
Полюсной вклад в этой области был вычислен в гл. 10, ему отвечают
диаграммы, изображенные на рис. 18.29. В случае
§ 133]
Я-МЕЗОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ ВПЕРЕД
263
(18.92)
я+ - р-рассеяния вклад вносит только вторая из этих диаграмм. Выясним,
имеются ли здесь какие-либо дополнительные сингулярности. Рассмотрим
систему координат, в которой
Pi = Р2 = (м, 0, 0, 0),
Pi = <72 = (Р coscp, /р, simp, 0, 0),
и, как обычно, перейдем к евклидовой метрике. Легко видеть, что в
рассматриваемом случае, как и в случае я - я-рассеяния, не существует
двумерных редуцированных графиков, изображенных на рис. 18.30, и, таким
образом, единственная особенность дается графиком "однонуклонного
обмена", как это было
/
У
/Я
N
6)
N
-Ч*-
\
К
Рис. 18.30. Редуцированные диаграммы для рассеяния я-мезонов на протоне:
двумерная диаграмма (а), одномерная диаграмма (б).
отмечено выше. Снова аналитически продолжая внешние импульсы
plqi'^kpi,kqi'^- 0, мы получаем, что знаменатель / отрицательно определен
при -р <С со < р, за исключением полюсного вклада в точке
(,Pi - q2)2 = M2 или со = + = + сов. (18.93)
Мы приходим к выводу, что во всех порядках теории возмущений амплитуда
Г(со) аналитична в плоскости со, за исключением разрезов от -|-р до +оо и
