Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 86

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 138 >> Следующая

верхнюю полуплоскость. Для того чтобы убедиться в вещественности
знаменателя, будем равномерно уменьшать внешние импульсы
начав с некоторой точки в евклидовой области, например, 5 = = t - и.
Поскольку условие (18.80) при такой однородной деформации тем более
невыполнимо, ни в одной точке при этом не возникает особенностей. В точке
Я, = 0 знаменатель / = - Yjj m)aj < 0- Возвращаясь теперь обратно к
исходным значениям импульсов, мы видим, что знаменатель всюду
(18.80)
Я, -> 0,
258
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
остается отрицательным, поскольку если бы в некоторой промежуточной точке
/ обратился в нуль, то должен был бы существовать редуцированный график,
отвечающий этому условию. Мы показали, однако, что такие графики
отсутствуют.
Выпишем теперь дисперсионные соотношения для амплитуды я - л-рассеяния
вперед. Действительность A (s, 0) на отрезке 0 ^ s ^ 4ц2 позволяет
аналитически продолжить А+ и А_ через "брешь", в результате мы заключаем,
что единственными особенностями A(s,0) являются разрезы от s = 4р.2 до s
= оо и от s = 0 до s = -оо, изображенные на рис. 18.25. Временно
,1m s
'д\ 4/лг Res
Рис. 18.25, Разрезы в s-плоскости амплитуды л - я-рассеяния на нулевой
угол
игнорируя вопрос о вычитаниях, запишем дисперсионное соотношение в
следующем виде:
щ-т S ¦'Л+ т (+ с- омо
4(Лг -оо
Уравнения (18.81) по своему смыслу и форме очень напоминают оригинальные
соотношения Крамерса - Кронига (18.8), с которых начинается вся
дисперсионная техника. Эти уравнения позволяют выразить амплитуду
рассеяния вперед А (s, 0) через интеграл от ее мнимой части. Последняя
обладает теми же притягательными свойствами, что и абсорптивные части в
соотношениях Крамерса - Кронига и дисперсионных соотношениях для
электромагнитного форм-фактора Fn{q2), а именно: она отлична от нуля
только в физической области рассеяния. Поэтому можно использовать
оптическую теорему и выразить ImA(s, 0) через полные сечения в s- и ы-
каналах. Тем самым мы получаем соотношение между измеримыми (в принципе)
величинами. Явная связь между ImA(s, 0) и полным сечением получается из
условия унитарности 5-матрицы: SS+=1; при этом нужно только правильно
учесть нормировочные множители. Конкретные вычисления будут проделаны в §
135, где мы используем свойства аналитичности, унитарности и кроссинг-
симметрии для динамического описания л - я-системы.
S 132]
СИНГУЛЯРНОСТИ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ
259
До сих пор мы обсуждали дисперсионные соотношения при t - 0, используя
вещественность A (s, 0) на границе евклидового треугольника и
представление (18.77). Используя это представление, мы можем получить
другой чрезвычайно полезный результат, а именно, доказать дисперсионные
соотношения для
Рис. 18.26. Линии cos 9 = const, которые рассматриваются при выводе
дисперсионных соотношений для парциальной амплитуды я - я-рассеяния.
парциальных амплитуд. Парциальные амплитуды определяются следующим
образом:
оо
A (s, /)=? (21 + 1) Ai (s) Pi (cos 0),
'~°i (18.82)
Ai (s) = y J ^ (cos 9) Pi (cos (r)) A (s> cos 0).
-l
где Л($, cos 0) s=i4(s,/) и 0 - угол рассеяния в системе центра масс. Для
того чтобы установить аналитические свойства Л/("), необходимо выяснить
аналитические свойства Л(я, cos 0) при фиксированном cos 0. Выразив t
через cos 0 ns, получим
/ = - 7г (s - 4ц2) (1 - cos 0).
Подставляя это выражение в интегральное представление
(18.77) для Л(в,/), мы видим, что знаменатель J можно записать в виде
J = ?s - о2 + г'е, (18.83)
260
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
где величины ? и а2 зависят теперь от cos 0 и "сопротивлений" а/. Поэтому
для амплитуды A(s, cos 0) справедливо то же самое интегральное
представление (18.78), что и для амплитуды рассеяния вперед.
Фиксированным значениям cos 0 отвечают в s^-плоскости прямые линии,
пересекающие евклидовый треугольник С (рис. 18.26), в котором, как мы
показали, знаменатель / не равен нулю. Поэтому можно разделить A(s, cos
0) на две части, подобно тому, как мы сделали это для A (s, 0) и,
повторяя рассуждения, приведенные ранее при переходе от (18.78) к
(18.81), показать, что амплитуда A(s,cos0) при любом значении cos 0
аналитична в s-плоскости, за исключением, быть
может, разрезов от s = 4р2 до оо и от s - 0 до s - -оо. В результате
снова оказывается возможным применить теорему Коши
А (s, cos 0) =
= "[ fofo'.cosOj (18g4)
2яг J s - s - le С
где С - любой контур, не пересекающий разрезов и окружающий точку s (рис.
18.27). Умножим затем правую и левую части (18.84) на P;(cos0) и
проинтегрируем от -1 до +1, тогда слева мы получим парциальную амплитуду
Ai(s). Поскольку интегралы в правой части сходятся абсолютно, можно
изменить порядок интегрирования; в результате приходим к выводу, что для
A;(s) также применима теорема Коши
Л-М-аМ ?&Psr- <1W5>
С
где С - тот же контур, что и в (18.84). Таким образом, /K(s) имеет те же
аналитические свойства, что и амплитуда рассеяния вперед и удовлетворяют
дисперсионному соотношению, аналогичному (18.81). Этот факт имеет большое
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed