Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
второе аналитично в нижней полуплоскости. Если существует некоторая
область действительных переменных s, для которых знаменатель J в (18.78)
не равен нулю, то функции А+ и А- в этой области действительны. Тогда,
согласно принципу Шварца, можно аналитически продолжить Л+ в нижнюю
полуплоскость и Л_ в верхнюю полуплоскость. Если указанное обстоятельство
действительно имеет место, то можно показать, что A(s, 0) аналитична в
комплексной s-плоскости всюду, за исключением разреза вдоль той части
вещественной оси, где знаменатель в представлении Намбу обращается в
нуль, после чего сразу можно выписать дисперсионные соотношения.
Таким образом, основная проблема заключается в том, чтобы найти такую
область действительных значений s, для которой знаменатель в интегральном
представлении амплитуды A(s, 0) не равен нулю и через которую можно
выполнить аналитическое продолжение A+(s) и A_(s). Из рис. 18.21 мы
заключаем, что единственно подходящей областью для аналитического
продолжения является отрезок 0 ^ s ^ 4ц2. При s ^ 4ц2 мы попадаем в
физическую область s-канала. В этой области амплитуда комплексна и равна
сумме членов вида ei6sin6 для каждой парциальной волны. При s ^ 0 имеем и
^ 4ц2, и мы находимся в физической области м-канала, причем в этой
области амплитуда, согласно правилу подстановки, описывается той же
аналитической функцией A(s,t), что и в s-канале. Интервал 0 ^ s ^ 4ц2,
равно как и треугольник s ^ 0, t ^ 0, и ^ 0, обозначенный на рис. 18.21
буквой С, является нефизической областью Анализ амплитуды в этой области
может быть выполнен так же, как и анализ евклидовой области в случае
Диаграмм, отвечающих вершинной функции.
256
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ .
(ГЛ. 18
Покажем, что знаменатель / в (18.77) отрицательно определен в С и не
может иметь здесь особенностей. В результате окажется возможным
аналитическое продолжение функций А+ и Как и в предыдущем разделе, введем
в С евклидову метрику. Поскольку каждая из переменных s, t и и
положительна в рассматриваемой области, можно выбрать импульсы следующим
образом:
Я\ = Ч2 (Vs > i л/t - i л/и, о),
42 = '/а (V". - i л/и, 0), /1о7т
/ /- /- /- \
Цъ - Чч. (- V 0),
<74
= '/2 (- Vs. -< V1 >< У°)>
в полном соответствии с (18.73). Убрав затем с помощью замены переменных
множитель i из пространственных компонент векторов qt, мы тем самым
изменим метрический тензор gна
8Му Применяя законы Кирх-^ ^ гоффа, снова убеждаемся в
А том, что все внутренние им-
1^ -- -Ж пульсы диаграммы веществен-
^ ны, причем аналитические свой-
^ ( ;>Т ства амплитуды в новой мет-
рике остаются неизменными. Рис. 18.22. Одномерная редуцирован- Критерий
существования син-ная диаграмма. гулярностей в области С оста-
ется по существу неизменным с тем, однако, различием, что теперь импульсы
и тем самым координаты ("напряжения") в вершинах трехмерны и
редуцированный график может быть уже не плоским, а объемным. Одномерные
редуцированные диаграммы, указанные на рис. 18.22, мы можем немедленно
исключить из рассмотрения, поскольку масса легчайшего состояния,
связанного с двумя я-мезонами, равна 2ц, и, таким образом, это состояние
в силу законов сохранения не может быть построено для s, t, и < 4ц2 в
(18.79). Аргументация при этом такая же, как и в случае электромагнитного
форм-фактора пиона, поскольку два внешних пиона, сходящихся в вершине А,
кинематически эквивалентны фотону с массой Vs < 2ц. В этой области форм-
фактор Ря не содержит сингулярностей. Аналогичные соображения показывают,
что двумерные редуцированные графики (рис. 18.23) не приводят к
аномальным порогам в евклидовой области С; напомним, что такие
сингулярности отсутствуют и в вершинной функции.
При рассмотрении трехмерных редуцированных графиков мы должны заключить
все линии во внутренность тетраэдра, к вер-
СИНГУЛЯРНОСТИ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ
257
шинам которого присоединяются внешние частицы (рис. 18.24). Как и в
случае вершинных функций, мы снова можем исключить возможность выпуклости
граней тетраэдра. Благодаря евклидо-вости геометрии по крайней мере в
одной из вершин все три плоских угла являются острыми. Поэтому тетраэдр
можно построить только в том случае, когда массы промежуточных частиц
таковы, что указанная вершина с острыми углами действительно существует.
Пусть, например, это будет вершина А на рис. 18.24. Тогда направления
импульсов любых двух частиц,
Рис. 18.23. Двумерная редуциро- Рис. 18.24. Трехмерная
редуцированная диаграмма. ванная диаграмма.
на которые диссоциирует пион в точке А, должны образовывать острый угол.
В этом случае должно было бы выполняться неравенство (18.65)
которое, однако, не может быть выполнено. Поэтому амплитуда я - я-
рассеяния не имеет сингулярностей в евклидовом треугольнике С на рис.
18.21. Чтобы завершить наше доказательство нужно еще показать, что
амплитуды Л±(", 0) вещественны при 4ц2. Тогда, используя принцип
симметрии Шварца,
мы сможем аналитически продолжить А+ в нижнюю полуплоскость s, а А- в
