Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
мезон, снова превращается в пион. Импульс <7, при котором Fn становится
сингулярным, равен
I Ч I2 _ с-2 ..2
4 я ^ '
причем *
т2 + ц2 - 2 тЕл - 0,
где т - масса ц-мезона. Отсюда получаем
| q | = (nt+цЦц-т) = ?9 Мэв(С' (18>66)
§ 130]
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ВЕРШИННЫХ ДИАГРАММ
249
Эта сингулярность, разумеется, весьма слабая, но в принципе она
существует.
При переходе от нестабильных частиц к стабильным аномальный порог
смещается из области пространственно-подобных q2 в область
времениподобных. В результате для систем, подобных дейтрону, должен
существовать двумерный редуцированный график в евклидовой области. Два
таких графика
Ф
Рис. 18.17. Редуцированные диаграммы, приводящие к аномальному порогу в
дейтронном форм-факторе:
COS0 *
M!D - 2М-
2е . 0 Щ - Мг - (М + ц)2
~М{а); COS0 = 2М (Af TV)--------------
указаны на рис. 18.17. Для графика рис. 18.17, а угол 0 весьма мал, что
связано с малостью энергии связи дейтрона е:
Q , В2 (2Л4 - е)2 -2Мг _ , 2е
COS 0 " 1 2" ~ 2ЛР ~ 1_ТГ
Из этого рисунка заключаем, что сингулярность находится при
q = 2M sin 0 zj 2М0 " 4 д/Ме. (18.67)
В пределе нулевой связи дейтрона q-*- 0. Таким образом, форм-
фактор дейтрона становится сингулярным при времениподобных переданных
импульсах, равных по порядку величины среднему импульсу k в дейтроне
k2j2M ~ е.
250
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
Как отмечалось выше, необходимое условие для возникновения аномального
порога имеет вид
Р2 > Z гп],
i
где ц- масса внешней частицы, гщ - массы внутренних частиц. В теории
сильных взаимодействий форм-факторы я- и К-мезонов и нуклонов не содержат
аномальных порогов, хотя эти пороги существуют для Л-, 2- и Е-гиперонов.
В физической области времениподобных переданных импульсов аномальные
пороги в форм-факторах стабильных частиц отсутствуют, и особенности
определяются только одномерными приведенными диаграммами. Следует
подчеркнуть, что вопрос о существовании обсуждаемых порогов тесно связан
с величинами масс и правилами отбора в вершине взаимодействия. Тем самым
этот вопрос окончательно нельзя выяснить, не привлекая дополнительных
физических аргументов.
§ 131. Дисперсионные соотношения для вершинной функции
Поскольку во всех порядках по сильному взаимодействию единственной
сингулярностью электромагнитного форм-фактора Fn(q2) является разрез от
q2 = 4р2 до q2=oo, мы можем выписать следующее дисперсионное соотношение:
FAq2)= ~ \ ад7л{д'? ' (18-68)
2яг J q - Я
где ^ - произвольная точка в комплексной ^-плоскости, лежащая внутри
контура С, указанного на рис. 18.18. Поскольку функция Fn(q2)
действительна при q2 < 4ц2, то используя принцип отражения Шварца, можно
выразить скачок на разрезе через мнимую часть Fn(q2). Когда q2 стремится
к действительной оси, оставаясь при этом в верхней полуплоскости,
lim Ря (q2 + ie) = Re F" (q2) + i Im Fn (q2),
e->0+
откуда
lim [Fn (q2 + ie) - Fn (q2 - ie)] = 2i Im (q2). (18.69)
e-"o+
Разделим в дисперсионном интеграле вклады от интегрирования по разрезу и
по бесконечно большому кругу Соо
S 1311
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
251
В том случае, когда Fn(q2) на бесконечности стремится к нулю, мы получаем
дисперсионное соотношение без вычитаний
(18.71)
Поскольку, однако, в теории возмущений F"(q2) на бесконечности к нулю не
стремится, то, проявляя известную осторожность, следует записать
дисперсионное соотношение с одним
Рис. 18.18. Контур в комплексной q' -плоскости в дисперсионном интеграле
для F"(q2).
вычитанием. Записывая его для функции FJl{q2)/q2, снова получаем Сое - 0.
Повторяя выкладки, которые мы проделали при выводе формулы (18.9),
находим окончательно
оо
W)-f"(0) + ?l (,Л)Г
(18.72)
Уравнения (18.71) и (18.72) аналогичны соотношениям Крамерса - Кронига. В
то время как последние с учетом требования унитарности - оптической
теоремы - связывают между собой экспериментально наблюдаемые величины в
(18.12), смысл дисперсионных соотношений (18.71) и (18 72) заключается в
том, что с помощью этих формул задача вычисления форм-фактора F"(q2)
сводится к вычислению его скачка для положительных q2 > 4р.2.
Практическая ценность этого результата
252
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
заключается в следующем. Было показано, что для возникновения
сингулярности в Fn необходимо существование редуцированного графика, в
котором виртуальный времениподобный фотон связан с реальными
промежуточными состояниями. Поскольку пионный форм-фактор не содержит
аномальных порогов, все редуцированные графики для него одномерны. Таким
образом, вычисление \mFn{q2) сводится к вычислению амплитуды перехода
фотона в реальное состояние |"> и вычислению амплитуды последующего
перехода |ц> в пару я+я_. Соответствующее аналитическое выражение, в
точности аналогичное формуле (18.16), выражающей скачок функции Грина на
разрезе, мы подробно обсудим позже при рассмотрении конкретных расчетов в
рамках дисперсионного метода. Здесь же отметим только, что в
спектральную сумму в области
