Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
<7з = ( \* -г д/ц2-^ , 0, о).
Законы Кирхгоффа означают, что все внутренние "токи" или импульсы имеют
вид
k = (k0, iku 0, 0), (18.64)
где k0 и k\ вещественны. Другими словами, вторые и третьи компоненты
внутренних токов равны нулю, если равны нулю эти
компоненты у внешних токов. Далее, если компоненты внешних токов чисто
мнимы, таковыми являются и первые компоненты всех внутренних токов.
Поскольку пространственные компоненты импульсов в (18.63) и (18.64) чисто
мнимы, можно с помощью очевидной замены переменных перейти к вещественным
векторам с евклидовой метрикой. Условия Ландау, согласно которым
сингулярности произвольной диаграммы появляются при k'j = /п2, применимы
в этом случае и в силу ев-клидовости пространства векторов имеют простую
геометрическую интерпретацию. Сингулярности возникают только в том
случае, когда можно нарисовать редуцированный график с двумерными
векторами, отвечающими внутренним частицам на массовой поверхности и
удовлетворяющими законам сохранения импульса в каждой вершине, другими
словами, когда существует двумерный редуцированный график. Рассмотрим,
например, треугольную диаграмму и предположим, что для нее возможен
двумерный редуцированный график, изображенный на рис. 18.14. Угол 0
определяется из сохранения импульса и условия "реальности" промежуточных
частиц:
Рис. 18.14. Двумерная редуцированная диаграмма.
q\ = ц2 = - 62)2 = k\ + k\ - 2kyk2 cos (it -
0) = 2M2 (1 + cos 0),
(18.65)
§ 130]
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ВЕРШИННЫХ ДИАГРАММ
•247
Для того чтобы замкнуть такой треугольник, необходимо выполнение условия
0 < я/2 или р.2 > 2М2. Поскольку в случае я-мезонов и нуклонов эти
условия не выполняются1), указанный редуцированный график не дает вклада
в сингулярности Fn(q2). Отметим, что в общем случае углы замкнутых
многоугольников, отвечающих двумерным редуцированным диаграммам,
определяются законами сохранения импульса в каждой вершине, а длины
сторон определяются разностью напряжений (или током, умноженным на
сопротивление) вершин, которые эти стороны соединяют.
Рассмотрим теперь произвольную диаграмму, отвечающую высшим порядкам по
взаимодействию. Чтобы найти сингулярности, обусловленные двумерными
редуцированными графиками (<72 sg: 4ц2), заметим, что любой такой график
должен целиком содержаться в треугольнике, вершины которого х\, х2 и х3
равны координатам точек, в которых взаимодействуют внешние частицы.
Стороны этого треугольника не должны иметь изгибов, другими словами, ни
одна из внутренних линий не должна проходить через сторону треугольника,
как показано на рис. 18.15. В противном случае эта линия выйдет за
пределы треугольника, поскольку не существует такого внешнего импульса,
после встречи с которым внутренняя линия могла бы повернуть назад к
вершине и поглотиться. Построив такой треугольник, мы замечаем, что по
крайней мере в одной из его вершин угол 0 должен быть острым. В этой
вершине внешний пион диссоциирует, образуя ливень частиц с импуль-¦ сами
ki и массами т,-, причем
ц2 = = z k2i+ Z.M/ > Z tn], (18.64)
Таким образом, сингулярности (если она существует) отвечает связанное с
я-мезоном состояние, для которого
р2 > Z т2г
рз
\
Рис 1815 Двумерная редуцированная диаграмма с деформированной стороной
(невозможный случай)
¦) См. (18.29) и примечание на стр. 227,
248
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
Такое состояние, однако невозможно, если мы не рассматриваем слабые и
электромагнитные взаимодействия. Отметим далее, что при учете только
сильных взаимодействий ни один одномерный редуцированный график не вносит
вклад в Fn(q2) в области 0 ^.q2<. 4ц2, поскольку легчайшим состоянием,
составленным из сильно взаимодействующих частиц и связанным с я-мезоном,
является состояние 2л. Поэтому мы заключаем,
что F^iq2) аналитична во всей плоскости q2 с разрезом, который начинается
от порога q2t = 4ц2 и отвечает приведенным графикам, содержащим
промежуточное состояние 2я.
Сингулярности, связанные с двумерными приведенными диаграммами,
называются аномальными порогами". Хотя эти сингулярности отсутствуют в
рассматриваемом случае, они интересны сами по себе. Аномальные
особенности могут возникать в формфакторах слабо связанных составных
частиц, удовлетворяющих условию (18.65), и также в & форм-факторах
нестабильных частиц, для которых это условие Рис. 18.16. Пример
редуцирован- заведомо выполняется. Например, ной диаграммы, котогая имеет
ано- .. " ~ ? "
мальный порог в физической об- ПРИ учете слабых взаимодействии ласти,
отвечающий нестабильной В Fn(q2) появляется аномальный частице
разрез, причем он находится в
физической области q2 < 0. Этот разрез отвечает редуцированному графику
на рис. 18.16. При этом возникает следующая картина: пион, образованный в
Беркли с импульсом <7/2, распадается на покоящийся ц-мезон и нейтрино с
импульсом <7/2, которое летит в Станфорд, где оно рассеивается на у-
кванте и возвращается в Беркли с импульсом -<7/2, после чего, захватив ц-
