Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
представляют в точности уравнения Ландау. Отметим,
Рис. 18.11 Траектории нулей функции J. Начальные точки отвечают
вещественным значениям конечные - комплексным.
что в том случае, когда переменные qiqj принимают вещественные значения,
не возникает необходимость деформации контуров интегрирования по
переменным а, поскольку мнимая добавка г'е предохраняет от появления
любого нуля в функции J, лежащего на расстоянии ближе чем 0(e) от
вещественной оси. Поэтому для возникающих при этом сингулярностей
справедливо условие а/ ^ 0, следующее из принципа причинности. К
сингулярностям такого вида относится большинство случаев, представляющих
физический интерес.
Если же переменные qiq, принимают комплексные значения, то нули J могут
пересекать контуры интегрирования, при этом
244
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
последние необходимо деформировать так, как показано на рис. 18.11.
Сингулярность интеграла снова появляется лишь тогда, когда сингулярности
подынтегрального выражения зажимают контур интегрирования либо совпадают
с граничной точкой aj = 0. Таким образом, правила Ландау применимы и в
этом случае при условии, однако, что область определения параметров а
включает комплексные значения1).
§ 130. Аналитическая структура вершинных диаграмм;
аномальные пороги
Применим теперь уравнения Ландау для нахождения особенностей вершинных
графиков, аналитическая структура которых может быть гораздо сложнее, чем
у функций Грина. Вернемся к рассмотренному ранее примеру с
электромагнитным форм-фактором я-мезона. Используя интегральное
представление (18.43), мы заключаем, что функция F Jq2) во всех порядках
теории возмущений аналитична в верхней полуплоскости q2. Более того,
следует ожидать, что F:i(q2) действительна при <72 < 0 во всех порядках
по сильному взаимодействию, поскольку простые физические соображения,
приведенные в § 126 для треугольной диаграммы, должны быть справедливы и
в более общем случае. Для строгого доказательства достаточно заметить,
что при q^ - 0 вершинная диаграмма кинематически эквивалентна
одночастичной функции Грина. Применяя результаты § 128, мы заключаем, что
поскольку ц < 2]/иг, где J^rrii -
i i
масса любого промежуточного состояния, связанного с я-мезо-ном,
знаменатель J в интегральном представлении любой диаграммы отрицателен на
массовой поверхности q2 = q2- ц2. Отсюда, в частности, следует, что
знаменатель J(q2) в фейнманов-ском интеграле, отвечающем любой диаграмме,
которая вносит вклад в Fn, отрицательно определен при q2 - 0 и, тем
самым, при q2 < 0. Поэтому с помощью принципа отражения Шварца можно
определить Fn(q2) в нижней полуплоскости. Таким образом, мы заключаем,
что единственными сингулярностями Fn(q2) являются точки ветвления на
положительной вещественной полуоси.
Чтобы найти начало разреза и остальные точки ветвления, следует
рассмотреть все редуцированные графики, дающие вклад в сингулярную часть
Fn(q2). Редуцированный график для
') Уравнения Ландау, являясь по своей структуре алгебраическими
уравнениями, имеют лишь конечное число решений. Поэтому они не приводят к
появлению естественной границы области аналитичности при аналитическом
продолжении по переменным qiqi на другие листы. Сингулярности, отвечающие
случаю а - оо, обсуждаются в статье [87].
130]
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ВЕРШИННЫХ ДИАГРАММ
245
треугольной диаграммы изображен на рис. 18.12; он приводит к особенности
при q2 = 4Л42. При этом мы снова можем дать наглядную физическую картину
рассматриваемого процесса в координатном пространстве. Времениподобный
фотон с = - (<7, 0, 0, 0) распадается при t - t\ на нуклон-антинуклонную
пару, которая через некоторое время при t = t2 переходит в два
Рнс. 18.12. Редуцированная диаграмма для пионной электромагнитной вершины
и соответствующая пространственно-временная картина.
реальных пиона. Ясно, что указанный распад происходит только при <7о ^
2Л4.
Существуют, однако, и другие редуцированные графики, отвечающие более
сложным диаграммам, которые понижают значение порога от q2 = 4M2 до
^==4рА Эти графики, например, изображенные на рис. 18.13, включают
перерассеяние пионов
(c)
X
Рис. 18.13. Редуцированная диаграмма высшего порядка, приводящая к
пороговой особенности в точке q2 - 4р2.
в конечном состоянии. Тогда q2 - 4ц2 является порогом для реакции
е~ + е+ <-> я+ + я-,
в. которой можно измерять Fn(q2) при q2 > 0. Для пространственноподобных
значений q2 <. 0 форм-фактор Fn(q2) определяется из упругого электрон-
пионного рассеяния. Между указанными двумя областями лежит нефизический
интервал 0 ^ q2 <с: ^ 4 ц2.
246
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
Перейдем к рассмотрению редуцированных диаграмм в нефизической области.
Сделаем импульсы внешних пионов q2 и 93 комплексными и посмотрим, какие
редуцированные графики при этом появляются. Для удобства выберем
координатную систему, в которой компоненты импульсов равны
q =(q, 0, 0, 0),
?2 = (-Y' ' °- °)' <18-63)
