Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 80

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 138 >> Следующая

Щ = т), (18.55)
где kj - кирхгофовские импульсы, которые, наряду с фейнманов-скими
параметрами а/, сопоставляются каждой внутренней линии. Эти импульсы
связаны соотношениями Кирхгоффа (18.35) и (18.37).
Сформулированные утверждения называются условиями Ландау [86]. Они
позволяют свести задачу нахождения особенностей произвольных
фейнмановских диаграмм к простой алгебраической задаче. Если мы
рассматриваем особенности по переменным qtqj на первом "физическом"
листе, то справедливо дополнительное ограничение, вытекающее из
причинности:
а^О, 1шау = 0 для всех /. (18.56)
В том случае, когда функция / аналитически продолжается в область
комплексных значений qiqi, доходя при этом до далеких нефизических
листов, уравнения Ландау по-прежнему сохраняют свой смысл при условии,
что параметры а/ могут принимать комплексные значения.
Представление Намбу оказывается, однако, не столь удобным, когда оно
применяется для рассмотрения диаграмм с более чем тремя внешними концами,
например для диаграмм, описывающих рассеяние. Причина этого заключается в
том, что в этом случае число различных комбинаций qtqj превышает число
независимых инвариантов, которые можно составить из импуль-
§ 129]
ОСОБЕННОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ДИАГРАММ
241
сов. Тем не менее ряд предсказаний (см. § 132) может быть получен и в
этом случае. Отметим, что формулы (18.53) и (18.54) позволяют выполнить
аналитическое продолжение амплитуды из области вещественных значений
инвариантов независимо от того, являются ли эти значения физическими или
нет. Поэтому все амплитуды, полученные с помощью правила подстановки,
например, амплитуды комптоновского рассеяния, аннигиляции пары в два
фотона и образования пары фотонами, описываются одной и той же
аналитической функцией, но при разных предельных значениях своих
аргументов.
Вернемся теперь к нашей основной задаче и выведем необходимые условия
появления сингулярностей функции в (18.53). Прежде всего устраним
ограничения, налагаемые б-функцией на область изменения параметров а. Для
этого используем масштабные свойства (18.47) .Выполним в (18.34) и
(18.36) однородное масштабное преобразование
, X > 0. Перепишем далее (18.53) в виде
"о da\ ... dan б

(-?*)
п -2k
I Л* ("/)[/(а,)]
Очевидно, что / в (18.34) не зависит от А,, поэтому б-функцию можно
устранить с помощью следующего приема:
. f . f dai ••• rf"rt(2>/)exp(- Z"/)
/=i dXe~4=) A'(a.) [/(a,)]-2* ' (18'57)
о 0
Выполним вначале интегрирование no ai при фиксированных значениях а2,
.ап, причем инварианты qtq,• будем считать вещественными:
?7~. (а2, .. ., ctп, qiqj)
г dat 7 ? а Л ехр а Л ~°°
= \ -------^----1 Ц-Д - = \ dax Тх (а, ... а"; q^j). (18.58)
о vv(*i)}n i
Очевидно, функция 0~2 определена до тех пор, пока при некотором ai
величина J в знаменателе не станет равна нулю, т. е. пока функция ?Г 1 не
сингулярна. Однако даже в этом случае особенность в подынтегральном
выражении можно обойти, сместив контур интегрирования в комплексную
плоскость он, как показано на рис. 18.9. В результате функция Т2 не будет
иметь
242
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
особенностей. В этом случае малые изменения импульсов qs или параметров
а2, •••> "и приведут к малому изменению положения величин сингулярностей
в оц плоскости, что есть следствие существования самого интеграла и его
производных. Функция 3~ч становится сингулярной лишь в том случае, когда
особенность <х\ находится в граничной точке <х\ = 0, либо когда две
Im
Контур интегрирования
Рис. 18.9 Контур при интегрировании по си Деформация контура позволяет
избежать особенности в точке а?.
Рис 18.10. Пара особенностей, зажимающих контур интегрирования
сингулярности \ совпадают и зажимают контур интегрирования, как
показано на рис. 18.10. Поэтому необходимые условия
для появления сингулярностей в 0~ ч имеют вид
/(а°, а,., . . ., ап; qlq,) = Qf (18.59a)
причем либо
л /
= 0, (18.596)
а(r)== 0, либо 1 ' дси
поскольку в последнем случае J имеет двойной нуль при а, = aj. Мы
получили, таким образом, правила Ландау; в действительности выражение
(18.59) имеет тот же вид, что и (18.49). Перейдем далее к интегрированию
по а2:
оо
STз(а3, ..., а"; da2T2(а2, ..., а"; q^j). (18.60)
о
Снова функция 3 будет сингулярной, если ч имеет двойную особенность либо
если ее сингулярность находится в граничной точке ач = 0. В первом случае
У(а°, а°, а3 ап; qlq,) = 0 (18.61a)
и
dJ
d а2
Vе*
(18.616)
§ 129]
ОСОБЕННОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ДИАГРАММ
243
Уравнение (18.616) включает также вариацию по ос?, поскольку в силу
(18.59а) а? определяется через а2 и остальные фейнмановские параметры. С
учетом (18.596) получаем
dJ
da2
a2"tt2
0 =
/ dJ , dJ dai X ____________________
V<?a2 dai da2 )" _"o
dJ
3a2
Эту процедуру можно по индукции продолжить до тех пор, пока мы не
исчерпаем все a-интегрирования. В результате получаем требуемые условия
31 ¦ (к?! - т;2) = 0, (18.62)
a.=aV
либо
н
о.
Мы видим, таким образом, что полученные ранее уравнения (18.52)
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed