Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
e-"o+
Разделим в дисперсионном интеграле вклады от интегрирования по разрезу и
по бесконечно большому кругу Соо
fft. + ie) - ^ Ы ] + С..
(18.70)
238
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
где 6tr - вариации переменных интегрирования во внутренних петлях.
Знаковые множители щг определены в (18.33). Подставив (18.51) в (18.50),
получим, с учетом законов Кирхгоффа, требуемое сокращение. В результате
б/ = X (ф) - tnf) Ьа1. = 0 при а;. = аj. (18.52)
Таким образом, для каждой линии редуцированного графика kj = mj. При этом
необходимые условия существования пороговых особенностей ф = q\ функции I
(q2) можно сформулировать следующим образом.
1. Диаграмма должна быть представлена в виде блоков, внутри которых все
а/ = 0 и которые соединены между собой линиями, изображающими частицы на
массовой поверхности, для которых kj - mj.
2. Уравнения Кирхгоффа (18.38) должны быть выполнены для положительных
значений "сопротивлений" а/, что отвечает правильному причинному
поведению теории.
Поясним физический смысл условия 1. Сингулярности амплитуды отвечают
случаю, когда взаимодействие не ограничено в пространстве и (или) во
времени. Обычно пространственно-временной интервал, на котором
разыгрываются события, ограничен принципом неопределенности. Однако может
возникнуть ситуация, в которой промежуточные частицы становятся
"реальными", т. е. удовлетворяют кинематическим соотношениям для
свободных частиц. При этом взаимодействие неограниченно растет, а
соответствующая амплитуда имеет особенность. Условие же 2 положительности
сопротивлений гарантирует тот факт, что реальные промежуточные частицы
распространяются в соответствии с принципом причинности; при этом законы
Кирхгоффа выражают геометрические и кинематические ограничения, которым
подчинено распространение частиц.
Сформулированные результаты оказываются весьма полезными, если дополнить
их какими-либо диаграммными или интуитивными критериями для нахождения
реальных промежуточных состояний. Эта задача особенно просто решается для
функций распространения. Для времениподобного q2 выберем систему
координат, в которой = (q, 0, 0, 0). Поскольку источник тока имеет только
временную компоненту, у внутренних гоков kj, удовлетворяющих законам
Кирхгоффа, отличны от нуля также только временные компоненты. Для
возникновения сингулярностей необходимо, чтобы диаграммы содержали
реальные промежуточные состояния. Примеры таких диаграмм изображены на
рис. 18.8. Законы Кирхгоффа позволяют приписать каждой вершине
редуцированного
§ 129]
ОСОБЕННОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ДИАГРАММ
?39
графика свое "время". При этом в силу "причинности" закона Ома (все а,•
положительны) ток течет в одном и том же направлении от /| до t2 и затем
от t2 до t3. Величина тока равна массе
Рис. 18.8 Некоторые редуцированные графики, дающие вклад в функцию
распространения
промежуточного состояния, поэтому сингулярности возникают при тех
значениях, для которых
где сумма берется по всем частицам в промежуточном состоянии. При этом
пороговое значение qt определяется массой легчайшего промежуточного
состояния, в которое могут перейти внешние частицы. В гл. 16 мы получили
этот результат, исходя из более общих аргументов1).
§ 129. Особенности произвольных диаграмм и правила Ландау
Следует ожидать, что при переходе от графиков, дающих вклад в функцию
Грина, к произвольным фейнмановским диаграммам выражения (18.52),
определяющие положение особенностей диаграмм, не изменятся. Ниже мы
покажем, что это действительно так. Условия (18.52) не только имеют
простой и наглядный смысл, но и были выведены, исходя из весьма общего
интегрального представления (18.36), справедливого и для более сложных
диаграмм:
') В действительности в гл. 16 мы продвинулись немного дальше и показали,
что если при вычислении электронного пропагатора S'р пренебречь
калибровочными членами (что всегда можно сделать, если мы интересуемся
только S-матричными элементами), то пропагатор удовлетворяет
спектральному представлению.
7
Ц-\-Г1Г
240
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1ГЛ. 18
где импульсы kлинейно зависят от внешних импульсов qs, см. (18.3?).
Знаменатель J в (18.53) можно записать в виде
т
J = Z (k) - mj) <х; + /е = 2 + *'е. (18.54)
! iij - 1 /
где коэффициенты снова выражаются через параметры а/. Уравнения (18.53) и
(18.54) известны под названием интегрального представления Намбу [85];
частными случаями этого представления являются выражения (18.45) для
функции Грина и (18.43) для вершинной функции. Поскольку представление
Намбу справедливо для произвольной фейнмановской амплитуды,
рассматриваемой как функции комплексных переменных q^j, мы можем теперь,
исходя из этого представления, в общем случае сформулировать необходимые
условия появления сингулярностей в любом фейнмановском графике.
1. Каждой сингулярности отвечает "редуцированный" график, полученный
стягиванием в точку некоторых внутренних линий.
2. Промежуточные частицы в редуцированном графике должны быть реальными:
