Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ведет в свою очередь к установлению требуемых аналитических Свойств.
§ 128] ПОРОГОВЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 235
§ 128. Пороговые особенности функции распространения
Выведем теперь необходимые условия для появления особенностей
произвольных диаграмм. Вначале рассмотрим функции распространения. Снова
будем использовать отмеченную в предыдущем параграфе аналогию с теорией
электрических цепей. Эта аналогия поможет нам разобраться с множеством
внутренних линий произвольной диаграммы и найти положение особенностей
форм-факторов Ft из рассмотрения знаменателей
в выражениях вида (18.36) или (18.43).
Аналитические свойства пропагатора частицы со спином О, а также частиц с
ненулевым спином, выражаются представлением Челлена - Лемана.
Поучительно, однако, заново установить положение сингулярностей
пропагатора, используя наглядную картину электрических цепей, поскольку
аналогичная техника может быть затем применена при рассмотрении вершинных
функций и амплитуд рассеяния. Для диаграммы собственной энергии имеется
только один внешний импульс, при этом аналитические свойства форм-
факторов А,- совпадают с аналитическими свойствами интеграла в (18.36)
Величина t,q2 в знаменателе (18.45) представляет мощность, выделяемую в
блоке с двумя внешними линиями, отвечающем графику собственной энергии,
поэтому эквивалентное сосредоточенное сопротивление не может быть
отрицательным. Используя те же аргументы, что и при рассмотрении
простейшей вершинной диаграммы, мы заключаем *) из (18.45), что:
1) /- аналитическая функция в верхней полуплоскости q2;
2) / - вещественная функция для вещественных отрицательных q2;
3) в силу принципа отражения Шварца / также аналитична и в нижней
полуплоскости, обладая, самое большее, точками, ветвления при q2 ^ 0.
Чтобы найти начало разреза q\, найдем наименьшее значение q2, для
которого знаменатель / в (18.45) обращается в нуль. Будем увеличивать q2,
начиная от нуля, до такого значения q2 при котором имеется хотя бы одна
точка (а", ..., в я-мер-
') Отметим, что Д > 0 для aj > 0, если Saj > 0 (см. задачу 1). При об-'
суждении аналитических свойств /(q2) величина А2 несущественна.
J=T.
(18.44)
(18.45)
236
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
(ГЛ. 18
ном a-пространстве, для которой
J(qf, а", "о, .... ао) = 0. (18.46)
Поскольку 7 удовлетворяет масштабному закону
7(Аа;) = А7(а/), (18.47)
эту точку всегда можно выбрать так, чтобы удовлетворить условию Z а,= 1.
Справедливость (18.47) следует либо из (18.44),
/
либо из того факта, что мощность, выделяемая в цепи, линейно связана с
величинами всех сопротивлений цепи. Поэтому мы можем игнорировать б-
функцию в (18.45) и рассматривать 7 как функцию п неотрицательных
независимых параметров а/.
Рис. 18.6. Обращение в нуль "действия" У (а) в точке пороговой
сингулярности q2=q2. В первом случае У имеет максимум при а;- = а(r), во
втором случае У = 0 на границе области интегрирования.
Хотя 7 = 0 при q2 - q2t и al = a°j, функция 7 ввиду непрерывности по
переменной q2 не может быть положительной в остальной области
интегрирования по а/:
7(<7t> аг •••> ai' •••> ап)^0 для всех а^О. (18.48)
Значения а; - а1), при которых 7 имеет максимум, лежат либо внутри
области интегрирования, либо на ее границе. Другими словами, для каждого
а/ либо
Ы{яЬ о° "у °в)
да
*I
либо
ага°
<х° = 0.
= 0, если а(r) Ф 0,
(18.49а)
(18.496)
250
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
Как отмечалось выше, необходимое условие для возникновения аномального
порога имеет вид
Ц2 > Z т],
i
где ц- масса внешней частицы, т\- массы внутренних частиц. В теории
сильных взаимодействий форм-факторы я- и К-мезонов и нуклонов не содержат
аномальных порогов, хотя эти пороги существуют для А-, 2- и Е-гиперонов.
В физической области времениподобных переданных импульсов аномальные
пороги в форм-факторах стабильных частиц отсутствуют, и особенности
определяются только одномерными приведенными диаграммами. Следует
подчеркнуть, что вопрос о существовании обсуждаемых порогов тесно связан
с величинами масс и правилами отбора в вершине взаимодействия. Тем самым
этот вопрос окончательно нельзя выяснить, не привлекая дополнительных
физических аргументов.
§ 131. Дисперсионные соотношения для вершинной функции
Поскольку во всех порядках по сильному взаимодействию единственной
сингулярностью электромагнитного форм-фактора Fn(q2) является разрез от
q2 - 4ц2 до q2 = оо, мы можем выписать следующее дисперсионное
соотношение:
FAq2) = ~~:\dq'2IAq'? ' (18.68)
2м J q - q2
где q2 - произвольная точка в комплексной ^-плоскости, лежащая внутри
контура С, указанного на рис. 18.18. Поскольку функция Fn(q2)
действительна при q2 < 4р2, то используя принцип отражения Шварца, можно
выразить скачок на разрезе через мнимую часть Fn(q2). Когда q2 стремится
к действительной оси, оставаясь при этом в верхней полуплоскости,
lim Ря (q2 + is) = Re F" (q2) + i Im Fn (q2),
e->0+
откуда
lim [F" (q2 + ie) - Fn (q2 - is)] = 2i Im (q2). (18.69)
