Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 76

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 138 >> Следующая

отделить существенные факторы от несущественных и ввести стандартные
обозначения для импульсов и параметров интегрирования. Некоторые пункты
ясны уже сейчас.
1. Произвольный матричный элемент имеет вид
где Oi - произведения внешних импульсов, спиновых матриц и волновых
функций, a Ft - зависящие от скалярных произведений внешних импульсов,
инвариантные функции, аналитической структурой которых мы интересуемся.
2. Числители в подынтегральных выражениях (например, шнур в (18.20))
несущественны, поскольку после параметриза-
ai = °> а2 = аз= !/2' 9? = 4М2
(18.30)
Ш= ZWtiqu .... О,
(18.31)
•) Если ц2 > 2М2, то разрез начинается при q2t - -lu2 ^ 1 - ^.
В этом случае, который мы обсудим позднее, разрез называется аномальным.
5 127]
ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ДИАГРАММ
229
ции подынтегрального выражения и вычисления интеграла по внутренним
импульсам они сводятся к полиномиальным множителям. Эти множители входят
в F,- только в виде полиномов, зависящих от скалярных произведений qiqj.
3. Проблема ультрафиолетовой расходимости здесь не существенна. Если
для сходимости интеграла необходимо иметь некоторую степень в
знаменателе, этого всегда можно добиться, продифференцировав нужное число
раз по внешним импульсам или массам внутренних линий. Такое
дифференцирование не изменяет аналитические свойства функции,
определенной интегралом. Например, дополнительная степень знаменателя в
выражении (18.20) приведет к сходимости интеграла по d*p\, при этом его
сингулярности, которые определяются нулями J в (18.27), не изменятся.
Удобно рассматривать внешние импульсы всегда входящими в диаграмму;
обозначим их через ..., qm. Будем рассматривать только связные диаграммы,
для которых
т
Zqs = о.
s=0
Каждой внутренней линии мы приписываем импульс ри массу trij, как
показано на рис. 18.3. В каждой вершине выполняется закон сохранения
импульса
п т
Z Вцр/ + Z hsQs = 0. (18.32)
/ =1 5=1
где
{4-1, если внутренняя линия / входит в вершину г,
- 1, если внутренняя линия j выходит из вершины г, 0 в остальных случаях.
Величина ёг5 аналогичным образом определяется для внешних линий, которые,
по определению, всегда входят в вершины.
Каждая диаграмма имеет определенное число k внутренних петель или
замкнутых контуров интегрирования. Обозначим переменные, по которым
выполняется интегрирование в замкнутых петлях, через 1Г. Хотя число
независимых 1Г определено однозначно, конкретный выбор этих переменных
можно осуществить
Рис. 18.3. Произвольная фейнманов-ская диаграмма, в которой внутренние
линии обозначены своими импульсами Pj, а внешние, входящие
в диаграмму линии - импульсами qs.
230
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
разными способами. Например, на рис. 18.4 указаны два различных способа
выбора замкнутых контуров для диаграммы 18.3. Выбрав определенным образом
контуры и направления их обхода, нужно определить переменные 1Г таким
образом, чтобы можно было выполнить интегрирование по импульсам. В
примере (18.20) мы выбрали переменные так, чтобы дополнить D
до полного квадрата (см. (18.21) - (18.24)). Аналогично следует выбирать
переменные для каждой петли и в общем случае. Положим
к
Pi = ki+ Z 11/Л, (18.33)
г=1
где
+ 1, если /-я внутренняя линия входит в r-ю петлю и векторы pi и /г
параллельны,
г|;г = -1, если /-я внутренняя линия входит в r-ю петлю
j и векторы pj и 1Г антипараллельны,
[ 0 в остальных случаях.
Оптимальный выбор векторов k/ можно сделать после введения
фейнмановских параметров. Опишем эту процедуру в общем случае.
Для определения аналитической структуры скалярного "форм-фактора" А, в
(18.31) для каждого данного графика достаточно рассмотреть интеграл
d4x ... d4k
§ 127j ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ДИАГРАММ 231
1
= ^ d4x ... dAlk^dа, ... dct"6^1 -
Xtv-772 2\ I о v h ГТ v 71 =F- (18.34)
ГХ \ki - mV ai + 2X kiai^lrlr + X "/W'^r'l
L / i,r i, r, r J
Чтобы устранить в знаменателе (18.34) член, содержащий 1Г1Г', положим
П
X &/а/П/г - 0 (18.35)
i=i .
для каждой петли г=1, ..., k. Диагонализовав эрмитову матрицу
П
Zrr' = X Л/гЛ/г'О/.
/=1
можно выполнить интегрирование по /г, при этом имеем
(18.36)
" da, ... dan6(l - X )
/<Л2 S ГД У 1"-2* '
[Z (*?"'"?) a/J
и Д2
где
А = det || z ||.
Импульсы kj зависят от внешних импульсов qs и фейнмановских параметров.
Они определяются уравнениями (18.35) и законами
сохранения импульса (18.32) в каждой вершине, в которых р/
нужно заменить на &/:
п tn
X е(/?/ + X visQs= 0- (18.37)
/-1 5=1
Легко видеть также, что из определения &tj и г|/г следует
X ег/т)/г = 0.
Уравнениям (18.35) и (18.37) можно придать форму, которая обнаруживает их
полную аналогию с уравнениями электрических цепей. Опустив в некоторых
случаях знак минус, получаем
X kja,j=0, (18.38а)
kj в петле г
X '(k, + q,) = 0. (18.386)
k;, Qc входят в вершину i 1 ь
232
Дисперсионные соотношения
(ГЛ. 18
Эти уравнения естественно интерпретировать, сопоставив фейн-мановским
диаграммам электрическую цепь, а импульсам- ток. Тогда импульсы k> имеют
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed