Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
абсолютно сходится.
226 ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ [ГЛ. 18
Четыре уравнения (18.24) совместно с восемью уравнениями (18.22)
позволяют однозначно определить импульсы &,•:
i (jz&z - <7зСЕ2 - <72(r) 1
"1- Д • ^ " Д
3
k2 = g3Ct' ~ qai , Д = ?а, = 1. (18.25)
i = i
Выполнив интегрирование по (Fl, получаем ')
11,3
'х
f" (<?-) ~ ^ $rfct2 Srfa36 f1 -X a*Y
0 0 0 \ l - \ J
x[
IV. (<?2, a,) А1 П
~Цд2-^- + ^2(q , "с)lnJ 08.26)
Величины A/i и M2 возникают из числителя в (18.20), они сводятся к
полиномам по q2 с коэффициентами, зависящими от осг; А2 есть параметр
обрезания. Аналитические свойства F"(q2) определяются функцией J(q2,ai),
которая остается в знаменателе после интегрирования по FI:
ДА",)=2 (Ч-.м>,=
= + <7за2а1 + ~ АР =
= qpa2a3-\-Ц2СС[(1-щ) - М2. (18.27)
Последнее выражение в (18.27) следует из (18.25); в (18.27) учтено также,
что я-мезон находится на массовой поверхности
q\ = ql = \^.
Из (18.26) следует, что особенность в Fn(q2) может возникнуть в том и
только в том случае, когда / обращается в нуль в некоторой точке, лежащей
внутри-области интегрирования по а. Поскольку нули / определяют
аналитическую структуру функции Fn (q2), последняя имеет те же
аналитические свойства, что и
1 1 1
I (<72) = ^ rfa' S dct2 \ d(h q2a2a3 + ц2а, ('l - a,) - M2 + ie
' (18-28)
0 0 0
Здесь мы опустили несущественные численные множители и выписали в явном
виде бесконечно малую мнимую добавку, которая возникает из мнимых добавок
в массах фейнмановских про-пагаторов.
') Вычисления производятся как и в гл. 8, см. примечание на стр. 172
первого тома.
§ 1261
СВОЙСТВА ВЕРШИННЫХ ДИАГРАММ
227
Функция I (t72), а вместе с ней и Ел(<72), аналитична в верхней
полуплоскости комплексной переменной q2. Действительно, интеграл (18.28)
существует для всех q2 = и + iv с v > 0. Если / (q2) вещественна для
некоторых вещественных q2, то с помощью принципа отражения Шварца форм-
фактор Fn(q2) может быть аналитически продолжен в нижнюю полуплоскость:
FJu - iv) = F* (u + iv).
Из физических соображений можно ожидать, что функция Fn(q2) в некоторой
области переменной q2 должна быть вещественной. Действительно, рассмотрим
пространственно-подобные значения q2 (q2 < 0). В этой области Fn(q2) дает
вклад в амплитуду элек-трон-пионного рассеяния, причем в борновском
приближении по электрическому заряду этот вклад чисто вещественный, что
можно проверить явным вычислением. При q2 = 0 знаменатель J отрицателен:
/(0, аг) = р2а1(1 - а,) - М2<-^- - М2 < 0, 0<а,<1,
если (I2 < 4М2, что действительно имеет место для пионов и нуклонов1). В
результате мнимая часть (18.28) в пределе е->-0+ равна нулю, причем этот
результат, очевидно, справедлив и для q2 < 0.
В рассматриваемом случае Fn(q2) можно аналитически продолжить в нижнюю
полуплоскость q2, в результате Ел (q2) оказывается аналитичной во всей
комплексной плоскости, за исключением, быть может, разреза вдоль
вещественной положительной оси. Положение разреза можно найти, вычислив
максимум J по отношению к параметрам а,-. Максимизируя по аг и а3,
получаем
1 - ai
a2 = a3 = -к-
/ ^ q2 ( 1 2~a-' j + p2aj (1 - aj) - M2. (18.29)
Правая часть в (18.29) может достигать максимального значения либо при ai
= 0, либо при некотором 0 < ai < 1. Прямым вычислением можно убедиться в
том, что при q2 > 2ц2 максимальное значение достигается на конце
интервала: ai = 0. Для физических значений масс я-мезона и нуклона р2/М2
та 0,022
') ртметим, что соотношение ц2 < 4М2 представляет собой как раз условие
стабильности я~-мезона по отношению к распаду на пр.
228
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1ГЛ. 18
и функция J все еще отрицательна при q2 = 2р2. Поэтому пороговое значение
q], при котором начинается разрез, равно') q2 = AM2. Это значение
отвечает точке
в пространстве параметров аг, в которой J - 0. Пороговая энергия q2t =
AM2 представляет собой как раз то значение энергии, при котором
виртуальный времениподобный фотон, образованный при столкновении
электрон-позитронной пары, может перейти в реальную нуклон-антинуклонную
пару, которая затем аннигилирует в пару я+ + л-. Указанный процесс также
изображается диаграммой рис. 18.2, на которой в этом случае необходимо
изменить направление пионных линий. Мы видим, таким образом, что при
обсуждении аналитических свойств вершинной функции Fn(q2) необходимо
одновременно рассматривать образование пар и рассеяние я-мезонов. В
случае рассеяния я-мезо-нов переданный импульс пространственноподобен, а
в случае образования пар - времениподобен.
Результат (18.30) означает, что сингулярности функций Грина лежат при тех
же значениях импульсов, при которых разрешены процессы поглощения.
Установление подобной связи между сингулярностями и вероятностью
абсорптивных процессов является большим достижением дисперсионного
подхода.
§ 127. Обобщение на случай произвольных диаграмм
и аналогия с электрическими цепями
Переходя от рассмотренного примера к произвольным диаграммам, полезно
