Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
разложение для функции Грина (например, бозонных полей):
00
A'f(x-у)- - г(01Т (ф (*) ф (у)) 10) = ^ do2р (о2) Ар (х - у, а). (18.15)
О
S 125]
ПРИЛОЖЕНИЕ К ФИЗИКЕ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ
223
Выполнив фурье-преобразование
оо
А/ /_\ . . [ d^P (О2)
bF(q)-) gTL^+Ъ '
о
мы видим, что Аг аналитична всюду в <72-плоскости, за исключением разреза
вдоль положительной вещественной полуоси. Поэтому А'р полностью
определяется через скачок на разрезе, т. е. спектральную функцию (16.27)
р (о2) = (2зх)3 ? б4 {рп - °) К0 I ф (0) | п) |2. (18.16)
П
Эта функция практически, конечно, может быть вычислена лишь приближенно.
Выражение (18.16) имеет тот же смысл, что и оптическая теорема в примере
Крамерса - Кронига. Это уравнение выражает скачок 2зхр(о2) через
вероятность распада виртуального мезона ф(0)|0> с массой о в
энергетически разрешенные физические состояния | п}. Структура выражения
(18.16) типична для всех выражений, определяющих скачки в дисперсионных
задачах.
При обобщении дисперсионного подхода на случай вычисления вершинных
функций и амплитуд рассеяния мы сталкиваемся с огромными математическими
трудностями; при этом приходится иметь дело с большим числом переменных,
причем число сингулярностей быстро растет, а их структура становится все
более и более сложной. В этом случае не только задача исследования
комплексной плоскости оказывается весьма трудной, но и найденные
сингулярности имеют весьма необычный вид и находятся при нефизических
значениях аргументов, недоступных непосредственному измерению. В такой
ситуации возникает необходимость аналитически продолжать само условие
унитарности, позволяющее вычислить скачки амплитуд. Несмотря на указанные
трудности, в теории дисперсионных соотношений был получен ряд строгих
результатов, в частности были доказаны дисперсионные соотношения по
переданному импульсу для я-мезон-нуклонного рассеяния [81, 82].
Ниже мы ограничимся более скромной задачей. Мы рассмотрим положение
особенностей отдельных фейнмановских диаграмм. Тем самым мы сможем
сделать определенные утверждения об области аналитичности суммы всех
фейнмановских диаграмм, хотя последняя может иметь и дополнительные
сингулярности [83]. Объединяя далее эти свойства аналитичности с
унитарностью S-матрицы, мы проиллюстрируем полезность применения
дисперсионного метода для вычисления вершинных функций и амплитуд.
224
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
§ 126. Аналитические свойства вершинных диаграмм в теории возмущений
Чтобы пояснить метод нахождения особенностей произвольных фейнмановских
диаграмм, рассмотрим вклад простейших диаграмм в электромагнитный форм-
фактор я-мезона. Будем полагать, что форм-фактор обусловлен связью я-
мезона с ну-клон-антинуклонной парой. Соответствующая диаграмма изо-
Рис. 18.2. Вклад нуклонной петли в электромагнитный форм-фактор
заряженного пиона.
бражена на рис. 18.2, а отвечающая ей амплитуда с точностью до
несущественных множителей равна
(<72-<7з)^я(<72)~ ^ViSpvs-^TFУ5^4лГ^-р^Гм- (18-17)
Импульсы указаны на рисунке, причем
Р2 = Р1 + <7з, Рг = р1 - Яъ <7 = - <72 - <7з, (18.18)
а внешние импульсы удовлетворяют условию
qt = t72=р2.
Предполагается, что масса нуклона М имеет бесконечно малую отрицательную
мнимую часть.
Векторная форма выражения (18.17), равно как и зависимость Fn только от
переменной q2, обусловлены лоренцевой инвариантностью. Кроме того, в силу
сохранения тока (гл. 10) член, пропорциональный q^ = -(<72 + <7з)ц,
отсутствует. Нас интересуют свойства аналитичности функции Fn(q2). Для их
исследования введем вначале фейнмановские параметры аь а2, аз так, чтобы
знаменатели в (18.17) можно было записать в виде, удобном для
последующего интегрирования по импульсу.
$ 126} СВОЙСТВА ВЕРШИННЫХ ДИАГРАММ 22В
Используя формулу')
1 1 1
-Jgjr = 2! ^ da, ^ da2 ^ da3 + ^ + ^3 , (18.19)
О 0 0
имеем
iq-2 - <7з)ц Рп (q2) ~ 5 d^p, j da, da2 da36 ^1 - ? X
^ Sp Y5 (pi + M) Y5 (p3 + M) Yp. (p2 + Щ /to ne\\ А тз •
(lo./U)
Интеграл в (18.17) или (18.20) расходится на верхнем пределе, что
отвечает бесконечной перенормировке вершины (см. гл. 8), и приобретает
смысл либо после обрезания при больших импульсах, либо с помощью
регуляризации. Эта расходимость, однако, несущественна при рассмотрении
аналитических свойств
Fn(q2)-
Изменим порядок интегрирования2) и вычислим вначале интеграл по импульсу.
С этой целью введем новую переменную интегрирования /:
Pi = k\ + /, р2== к-2 ~Ь К рз - к^-\-1, (18.21)
где векторы ki снова удовлетворяют соотношениям вида (18.18), вытекающим
из сохранения импульса:
ki = k2 - q3 = k3+ q2. (18.22)
Знаменатель подынтегрального выражения в (18.20) равен кубу выражения
D=Z(k2i- M2)at + l2^ai + 2t^kiai- (18-23)
Для того чтобы устранить последний член в D, положим
Еб(а; = 0. (18.24)
i=i
') Напомним формулу (8.58). Отметим, что эта формула верна при условии,
что мнимые части А, В и С имеют один и тот же знак.
2) Такая перестановка возможна, поскольку после регуляризации интеграл
