Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
00
Re f (со) _ Re f (0) . 1 n f da>' Im f (&') ,1ап\
ш ~ ш I- я 3 ~w'(wr=b) '• (18.9)
- 00
Эта формула называется дисперсионным соотношением с одним вычитанием. В
том случае, когда /(со)->0 при со-><", величина Соо = 0 и вычитания не
нужны.
Дисперсионные соотношения в форме (18.7) или (18.9) позволяют вычислить
амплитуду рассеяния, если известна ее мнимая часть. Если необходимо одно
вычитание, то нужно дополнительно задать функцию /(со) при со = 0, если
же требуется несколько вычитаний, то нужно задать еще и производные /(со)
при со = 0. Отметим, что для вычисления амплитуды при какой-либо одной
частоте нужно знать мнимую часть при всех частотах - этот факт является
до некоторой степени компенсацией за преимущества дисперсионного метода.
На практике, однако, это обстоятельство не приводит к затруднениям,
поскольку мнимая часть амплитуды рассеяния вперед с частотой со > 0
связана, в силу оптической теоремы, с полным сечением поглощения света с
той же частотой
1т/(со) = ^Г0ы(со),
(18.10)
S 125]
ПРИЛОЖЕНИЕ к ФИЗИКЕ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИИ
221
Далее, можно избавиться от области отрицательных со в дисперсионном
интеграле (18.7), заметив, что поскольку амплитуды падающей и рассеянной
волн вещественны, то
flinc(~(r))==a*nc((fl)" /(-(r)) = Г(ю)
И Imf (- со) == - Im f (со).
Поэтому дисперсионный интеграл содержит только положительные частоты
оо
Re/(о) = !-/>{ -4^-2Im/(а/) (18.11а)
Я j со - (D
ИЛИ
Re f (со) = Re f (0) + t f-(*°2 • (18.116)
я J to (<в 2 - со2) о ' '
Таким образом, принцип причинности распространения световых сигналов в
сочетании с оптической теоремой, которая выражает сохранение вероятности
при рассеянии, позволяет сформулировать следующее утверждение.
Действительная часть когерентной амплитуды рассеяния света вперед на
атомах вещества, т. е. коэффициент поглощения может быть вычислен из
дисперсионных соотношений, если в последних задать более простую
величину, измеренную на опыте, либо вычисленную независимо, которая
описывает поглощение света в веществе. Выражение
ОО
Re/(co)==Re/(0) + -^Rj-г^г- (18.12)
о
и представляет соотношение Крамерса -• Кронига.
§ 125. Приложение к физике высоких энергий
Метод дисперсионных соотношений находится в близкой аналогии с
соотношениями Крамерса - Кронига. Этот метод целиком основывается на
принципе причинности, который позволяет сделать определенные утверждения
о свойствах аналитичности амплитуд. После того как область аналитичности
установлена, амплитуды по теореме Коши выражаются через вычеты в полюсах
и скачки на разрезах ("абсорптивные части") вида (18.8)1)
lim [/ (со -f ie) - / (ю - ге)] = 2i Im f (со). (18.13)
*) Мы используем принцип отражения Шварца f{со*) = f*(co), позволяющий
определить f в нижней полуплоскости, которая отделена разрезом от верхней
полуплоскости.
222
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1ГЛ. 18
Чтобы затем получить соотношения между измеренными величинами, нужно
использовать унитарность S-матрицы. Это свойство позволяет выразить
абсорптивные части через другие величины, непосредственно измеряемые на
опыте. Хотя проблемы, с которыми приходится сталкиваться при конкретной
реализации указанной программы, гораздо более серьезны, чем в примере с
соотношениями Крамерса - Кронига, основные идеи остаются при этом теми же
самыми.
Отправной точкой при строгом доказательстве дисперсионных соотношений в
теории поля являются аксиомы, сформулированные в гл. 16, и особенно
важнейшая из них, утверждающая, что коммутаторы бозе-эйнштейновских полей
и антикоммутаторы ферми-дираковских полей равны нулю для пространственно-
подобных интервалов
{Фг(*)> Ф/ (У)} = {фг (х), Ф/ (у)} = О,
[ф<(*), Ф/(У)] = 0, (18.14)
[ф" (*), Ф/ (г/)] = 0, (х - у)2 < 0.
Выписанные соотношения локальной коммутативности заменяют условие
причинности, использованное в предыдущем параграфе при обсуждении
рассеяния света на атомах. Эти соотношения действительно выражают
свойство микропричинности в теории поля, поскольку из них следует, что
измерения амплитуд бозе-эйнштейновских полей независимы, коль скоро эти
поля разделены пространственно-подобным интервалом. То же относится и к
билинейным формам полей Ферми - Дирака, посредством которых выражаются
локальные плотности физических величин таких, как заряд или энергия.
Условие микропричинности позволяет установить область аналитичности
функций Грина и S-матричных элементов, когда один или несколько их
аргументов аналитически продолжаются от своих физических значений.
Нахождение области аналитичности представляет главную проблему в
дисперсионном методе; при этом мы сталкиваемся с задачей, несравненно
более сложной, чем рассмотренный выше случай рассеяния света на свете на
нулевой угол. Пожалуй, простейший пример строгого доказательства такого
рода основывается на рассмотрении представления Челлена - Лемана для
функций распространения.
В гл. 16 мы показали, что из аксиом теории поля, в частности из
перестановочных соотношений (18.14) , можно вывести спектральное
