Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
необходимости привлечения иной, более адекватной 'Техники. В настоящее
время наиболее плодотворным методом в теории сильных взаимодействий
является метод "дисперсионных соотношений", который основывается на
экстраполяции в комплексную плоскость. Локальная структура коммутационных
соотношений и полевые уравнения накладывают некоторые ограничения на
поведение амплитуд рассеяния, рассматриваемых как функции энергии и
переданного импульса, при аналитическом продолжении амплитуд по этим
переменным от физических значений в нефизическую комплексную плоскость.
При этом оказывается возможным установить ряд соотношений, позволяющих
либо вычислить эти амплитуды, либо выразить их через другие наблюдаемые
величины [78, 79].
Метод дисперсионных соотношений в теории поля был инспирирован
соотношениями Крамерса - Кронига в оптике [80], которые мы кратко
рассмотрим для иллюстрации основных идей дисперсионного подхода.
Соотношения Крамерса - Кронига выражают действительную часть амплитуды
рассеяния вперед
218
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
света на атомах через интеграл от сечения поглощения. В макроскопическом
смысле это соотношение устанавливает связь между показателем преломления
в веществе и интегралом (по всем частотам) от коэффициента поглощения.
При выводе соотношений Крамерса - Кронига нужно прежде всего убедиться в
том, что амплитуда рассеяния на нулевой угол ана-литична в верхней
полуплоскости комплексной ю-плоскости. Этот факт в свою очередь является
математическим выражением того обстоятельства, что электромагнитные
сигналы не могут распространяться со скоростью, большей скорости света.
Переходя к выводу соотношений Крамерса - Кронига, рассмотрим
монохроматическую волну с амплитудой а|пс, которая распространяется вдоль
оси х и падает затем на рассеивающий центр:
aim ((r)) е~ша~х)4
Амплитуда рассеянной вперед волны aScatt линейно связана с амплитудой
падающей волны
где / (со) - амплитуда рассеяния на нулевой угол. Асимптотически
e-la (t-x)
^scatt (•?> 0 -* Hscatt (и) - .
х-+оо х
Взяв суперпозицию волн с различными частотами, получим
со
Ainc (х,/) = jj dm'alnc(m')e~ia'd-x)}
- ОО
оо
4scatt(*, t) -*¦ \ dm' 1(т')а1пс(т')е~1а'"-х)
Х-*оо х J
- оо
для падающей и рассеянной на нулевой угол волн соответственно. Учтем
далее, что (18.1) представляет световой сигнал, поэтому Ainc(x, t) = 0
при х > t. Этому требованию, вытекающему из физических соображений, можно
придать математическую формулировку, рассмотрев фурье-амплитуды
о
ainc((r))=2^ S dxAim(x,0)e-lax, (18.3)
- ОО
где верхний предел выбран в соответствии с условием Ainc(x, 0) = 0 при
х>0. Из (18.3) следует, что ащс(ю) может
(18.1)
(18.2)
S 124]
ПРИЧИННОСТЬ И СООТНОШЕНИЯ КРАМЕРСА - КРОНИГА
219
быть аналитически продолжена в верхнюю часть комплексной (c)-плоскости.
Действительно, при (c)->(c) + /|y|
о
Ощ.
(со + г| Y I) == 2k S d*^inc(*. 0)e-to*-lYll*l, (18.4)
и интеграл абсолютно сходится. Принцип причинности означает, что
^scatt (*, 0 - 0 При Х> t,
т. е. что световой сигнал не может достигнуть точек, лежащих впереди
фронта падающей волны. Используя те же аргументы, что и выше, мы
заключаем из (18.2), что функция ашс((c))/(<")
,11ТЫУ'
/ \
/ \
С V
/ \
/ / f* \
( и )
0 . > R sco
Рис. 18.1. Контур в верхней полуплоскости со', используемый в формуле
Коши.
также аналитична в верхней полуплоскости. Следовательно1), функция f((c))
сама по себе является аналитической в верхней полуплоскости. Запишем для
нее формулу Коши:
с
которая справедлива для любого 2 = (c) + г|у| в верхней полуплоскости.
Контур С в (18.5) указан на рис. 18.1. Если г стремится к физическому
значению (c), оставаясь при этом в верхней полуплоскости, то
оо
/((c))= Игл / ((c) + ге) = -^rP \ + + (18.6)
е-"0+ "оо
где Р ^ .., означает главное значение интеграла. Второй член
в этом выражении возникает при интегрировании по полуокружности,
окружающей полюс (c)' = (c), а комплексная константа
*) Амплитуда f не имеет полюсов, связанных с нулями в ашс(и), поскольку
функция ащс(й))-фурье-компонента волнового пакета - совершенно
произвольна.
220
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
С оо С 00 + iC'o* есть вклад интеграла по полуокружности бесконечно
большого радиуса. Разделяя действительную и мнимую части, получаем
оо
RefМ=4я $ + С- <18'7а>
- ОО
оо
Im/((o) = -lpJ-^Igl + C'". (18.76)
- оо
Легко видеть, что уравнение (18.7а) есть действительная часть от
выражения
00
/(со) = lim / (со + /е) = lim + Сх, (18.8)
8->о+ е-"о+ "Л (r) ге
которое и представляет наиболее общий вид дисперсионного соотношения.
Величина Сое не равна нулю в том случае, когда /(со) не исчезает при со-
"-оо. Вклад большого полукруга можно устранить, сделав "вычитания". С
этой целью запишем теорему Коши не для /(со), а для /(со)/со; в этом
случае подынтегральная функция имеет дополнительный полюс при со = 0,
но зато лучше
ведет себя на бесконечности. Если /(со) при со->оо ограничена
константой, то вместо (18.7а) получаем
