Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
R А = 1 J
=i^<0inl[Svirrii№ ад]'х х0^йт1;/№'ч""№'чГ|о'п>=
-&[jwZ|1№'4|!] • (17-90)
В том случае, когда R есть все импульсное пространство, вероятность Рп
излучения п фотонов имеет вид распределения Пуассона
е~" (п)п
P" = J4l ' (17-91>
') При рассеянии на внешнем потенциале, например при рассеянии электронов
в кулоновском поле (гл. 7), для получения конечного результата необходимо
учитывать графики с виртуальными фотонами в промежуточном состоянии.
Вклад таких графиков содержится в Ро = (0 out 10 in) , поскольку в этом
случае электронное состояние включено в (0 in) и |0out).
$ 123] ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ 215
где среднее число испускаемых фотонов Я равно:
2 оо
я=)жЕ,/(1г' <17-92)
А,= 1 я=0
оо
Очевидно, 2^>/г==1" что отвечает сохранению полной ве-
п=0
роятности.
То обстоятельство, что для числа испускаемых фотонов справедливо
распределение Пуассона, означает, что фотоны излучаются статистически
независимо. Статистическая независимость в свою очередь есть следствие
сделанного предположения о классическом характере источников тока, на
которые излучение не оказывает обратного воздействия; в результате каждый
фотон испускается в одинаковых условиях.
Для вычисления полной энергии излучения используем (17.86):
оо
Ё = Z Z I {kih • • • КК in | S | 0 in) |2 X
n==0 knKn
X(kl + k2+ ... + kn) = (0 in | S~lH0 (ylin) S10 in), (17.93)
где
2
Я0 (An) = S d4 k E atn ain (k> b)
K - \
- гамильтониан свободного поля излучения. Учитывая (17.80), получаем
2
Ё= (0 in I) d>h *?["*,
К - 1
2
х [flIn (k, x)+i ° in> == {j d'k E11 12 (17-94)
в согласиц с известным результатом классической электродинамики.
Поскольку источник тока излучает конечное количество энергии на единичный
интервал частот при Я->0, то }{k,X)~ l/k при Я->0. Например, для
точечного заряда, который мгновенно меняет направление своего движения,
2
ЕеЧiъ)~е(*,-Л.р - k-k• р')'
Я,= 1
где Р(Р') - скорость до (после) излучения. Если ток ведет себя указанным
образом, то среднее число испускаемых фотонор
216
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
[ГЛ. 17
равно бесконечности, поскольку, согласно (17.92), бесконечно число
фотонов с частотой k ~ 0. Мы сталкиваемся, таким образом, с "инфракрасной
катастрофой", обсуждавшейся ранее в гл. 7 и 8. В том случае, когда
свойства тока приближаются к классическим, имеется конечная вероятность
испустить любое число фотонов с ^ --- 0; например, если выбрать R в виде
0 ^ | k | ^ А, то
оо Г с 2 Л
?л,(|*|<д) = ехр - J *jrrX;i/(*. Я)|2 • (17.95) п=~ 0 L A,= l
J
Отношение вероятности излучения п + 1 фотонов к вероятности излучения п
фотонов равно
1 [d3h\ 1(кЛ)У Г dk
п+ \ ) k 2\к\ J k
и расходится при ?->0. Таким образом, теория возмущений, основанная на
разложении по степеням а, неприменима в предельном случае больших длин
волн. Близкий к нашему изложению анализ возникающих при этом
расходимостей был дан Блохом и Нордсиком [76] (см. также [77]) в 1937 г.
ЗАДАЧИ
1. Вывести формулу (17.5), описывающую развитие во времени канонического
импульса.
2. Вычислить Н-матрицу для клейн-гордоновской частицы, связанной с
постоянным с-числовым током: (? + т2) ф = f. Обсудить результат в связи с
теоремой Хаага (см. примечание на стр. 183), согласно которой в данном
случае оператор U (t) не существует. Построить 5-матрицу.
3. Показать, что вакуумные петли, содержащиеся в Dfe в (17.38),
можно собрать в ехр \ > -В. \, где 5,- - связанные петли, а тц - их по-
V ( ч' )
рядок.
4. Выписать общую спиновую и изоспиновую структуру яЛ1-амплитуды.
5. Проверить, что 5-матрица я-мезон-нуклопного рассеяния в пределе 0 (q -
4-импульс пиона) не зависит от изотопического спина (см. § 120).
6. Вычислить расходящуюся часть в (17.49) и показать, что расходимость
можно устранить подходящим выбором контрчлена в (17.50).
7. Доказать свойство кроссинг-симметрии (17.53) для амплитуды я - я-
рассеяния.
8. Показать, что результат (17.64) не изменится, если учесть массовый
контрчлен.
9. Вычислить фы и фсш! для лагранжиана
3? = ZD + Zs + g-.
где 2?D и 2?s - свободные лагранжианы для дираковской и скалярной частиц,
и показать, что S = 1. Совпадает ли в этом случае точный фейнмановский
пропагатор для дираковской частицы со свободным: SF - SF?
ГЛАВА 18
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
§ 124. Причинность и соотношения Крамерса - Кронига
Обсуждавшийся до сих пор метод вычисления амплитуд перехода
ограничивается случаем малой константы связи, которая является параметром
разложения рядов теории возмущений. Например, в квантовой электродинамике
этот параметр равен а = 1/137. В предыдущей главе, исходя из формализма
теории поля, мы развили систематический (хотя и формальный) метод,
основанный на использовании диаграммной техники, а также сформулировали
правила вычисления фейнмановских диаграмм.
Указанный подход оказывается, однако, совершенно бесполезным в том
случае, когда мы рассматриваем сильные взаимодействия. В гл. 10 при
обсуждении мезон-нуклонного и нуклон-нуклонного рассеяния мы убедились в
