Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
^С^-преобразования. Действительно,
<0 I % (X') Фа (х) 10) = {КО | К% (х') Фа {х) 0)* = {К% (х') фа (х) 0 |
КО),
где К - оператор комплексного сопряжения, который содержится в операторе
обращения времени ? = °U,K. Используя ZPC?-инвариантность вакуума
<?С/|О> = 0|О> = |О>
и учитывая, что 1 = получаем
<0 I % (X') фа (X) | 0) = <0фр (X') 0~'0фа (*) 0~'О | 0). (16.108)
С учетом правил преобразования (15.150) дираковских полей под действием
оператора 5*0/
0фа (*) = - t (YoYsi) (- х))а = i (у3ф+ (~ *))а,
0фр {х') 0-1 = - i (Ф (- х') у5Уо)р и учитывая, что у5 = у-Г, находим
(0 I фр (X') Фа (х) Ю)--(у5)аг <0 |ф, (- х) фх (- X') 10> (у5)хр.
(16.109)
i 109] In И out-ПОЛЯ В ТЕОРИИ ДИРАКА 165
Подставляя (16.109) вместе с (16.107) в (16.96), получаем окончательно
(х - х') = i J -^г 0 (Яо) ([Wi (я2) + Р2 (<72)1ар е-ч <*-*'> -
- {Ys [q9\ (Я2) + 92 (Я2)] Ysbp <*-*'>) =
= 1 5 ТадТ 0 (яо) [*Vxpi ((f) + 92 (?2)]ар (е-чи-х') _ eiq(x-x'))' (16.1
10)
Поскольку р обращается в нуль для пространственно-подобных q2, это
выражение с помощью подстановки
ОО
р (^) = J dM2p (М2) 6 (q2 - М2)
0
может быть записано в виде интеграла по массам S'р (х-х') = -\ dM2 [/Pl
(М2) V* + р2 (М2)]ар Д (х - X'-, М) =
= JdM2{Pl (M2)Saf}(x-x'; М) +
+ [МР| (М2) - р2 (M2)]ag Д (л: - х'\ М)), (16.111)
где инвариантные функции Д и 5 определены в приложении В.
Приведенный выше вывод спектрального представления практически не
меняется для вакуумного среднего от упорядоченного по времени
произведения дираковских полей, при этом нужно только заменить 5 и Д в
(16.111) на фейнмановские пропагаторы SF и Д/>:
Чр (* - *') = + sdM2 Up" V* + Р2 (м2)]ар ^ (* - М)
(16.112)
или, в импульсном пространстве,
00
S'p (р) = 5 dM2 [рр, (М2) + р2 (М2)] •
о
Аналогичный результат может быть выведен и для остальных функций Грина.
Сопоставляя (16.111) и (16.32), мы видим, что учет спиновых степеней
свободы в уравнении Дирака приводит к тому, что спектральное
представление записывается в виде интеграла, содержащего не одну, а две
скалярные функции pi и р2. Свойства этих функций аналогичны свойствам р
(q2):
1) pi (М2) и р2(М2) вещественны,
2) р,(М2)>0, (16.113)
3) Л*р,(Л12)-р2(Л12)>0.
166 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И 5-МАТРИЦА [ГЛ. 16
Условие 1) проверяется непосредственным вычислением: р;р (?) = Z (2л)3 6*
(рп - q) (п\ фт (0) | 0) (0 | фя (0) | п) =
П
= [YoP (q) Volga = Ipl (f) 4* + p2 (<72)]ag-
Чтобы доказать 2), рассмотрим Sp(vop); используя (16.97) и (16.107),
получаем
Sp YoP (q) = 4(?0pi (q2) =
= Z (2л)3 64 (p" -q)t(0\\ (0) | л) (л | Фа+ (0) 1 0) =
n a=J
= Z (2л)3 (pn - q) t! <0 I фа (0) I П) p > 0.
n a=l
Отсюда, поскольку q0 > 0, следует pi (q2) > 0.
Условие 3) доказывается аналогичным образом, для этого нужно рассмотреть
квадрат модуля (iV - Af) г|>. Конкретные выкладки мы оставляем читателю в
качестве упражнения.
Теперь, как и в случае скалярного поля, можно выделить из спектральных
амплитуд вклад одночастичного состояния и вывести условие для Z2,
аналогичное (16.42). Для этого вычислим матричные элементы операторов в
правой и левой части уравнения (16.83) между вакуумом и одночастичным
состоянием |ps>:
(iV - т) (01ф (.к) | ps) = (р - т)(01 ф (0) | ps) e~ipx -
= <017(0) | ps><rip*. (16.114)
Из (16.99) следует, что (0|ф(0) |ps) при лоренцевых преобразованиях
преобразуется как спинор с импульсом р и спином s:
<01 фа(0)\ps)=(0\U(а) фа(0)и~1 (а)\ U(a)ps)=S~1 (а)(0 | фр (0)| p's').
Поэтому ')
(0|ф(0)1 ps) = au(p, s) + bv(p, - s) = (a + by5)u(p, s). (16.115)
Потребовав, чтобы теория была инвариантна при отражении пространства, мы
устраним член с b в (16.115). Действительно, из (15.88) и (15.91)
получаем
(0| ф (0) | р0, -р, s) = (a-f Ьуь)и{- р, s) = (01^ф(0)5s-11 ps) =
= Yo(a+by5)u(p, s) = (a - by5)и(- p, s), (16.116)
J) См. задачу 9 этой главы.
§ 10э] tn- и out-Ноля в Теории диракА 167
где учтено, что в силу уравнения Дирака и(-р, s) = у0и(р, s) 1 ). Поэтому
b = 0. Из (16.114) имеем
(О |/(0)| ps) - а{р - т)и(р, s) = 0 (16.117)
и
(0 | ф (*) I ps) = У^2<0 | ф,п (х) | ps) =
=10?л/т;и<р- (|6'118)
<0 I Ф (*) I ps) = д/Zj (0 | фои1 (х) | ps). (16.119)
По аналогии с (16.55) отсюда следует, что
(0|{4\ГМ- ^р" (У)} I °) = - iSag, (х * У)> (16.120)
а также, что антикоммутаторы в (16.120) являются сами по себе с-числами,
т. е.
КГМ, Фр" (У)} = {ф°и' W> №} = ~ /5ар ~ У)- (16.121)
Непосредственную проверку этих утверждений мы оставляем читателю.
Используя (16.118), выделим вклад одночастичного состояния в спектральную
амплитуду (16.97); этот вклад равен
Z2 S тёр' 2 (2л)3 64 и* (Р, s) "р (р, s) =
= Z2(q + т)арб(q2 - от2) 0 (0О).
Подставив в (16.111), найдем 5"р (х - *0 = Z2Sap (х - tn) -
со
- J dM2 [1Р1 (Л42) V* + р2 (Л42)]ар А (а - М), (16.122)
т2
где спектральный интеграл начинается от порогового значения от?
непрерывного спектра.
При t = t' левая часть (16.122) выражается через антикоммутатор полей
Ф(а:):
5ар (* ~ °) = г'(0 I{Фа (*> t), фв(*', /)(0) = /Уарб3 (х - *').
(16.123)-
