Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 55

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 138 >> Следующая

по аналогии с (16.11). При
этом мы снова предположим, что вакуум представляет един-
ственное состояние с нулевой энергией и что набор состояний, полученный
применением in-операторов, является полным.
Асимптотическое условие, как и в случае скалярного поля, имеет вид ___
Ф (*)->VZ2 %ЛХ) ПРИ t-* - oo,
причем это уравнение понимается в смысле слабой операторной сходимости.
Другими словами, мы предполагаем выполнение условия
lim (a IV (0 I Р) = I Ф[п I Р)> (16.91)
i -> - 00
где ф[п определяется первым из уравнений (16.89), в котором
VpS нужно заменить на локализованный пакет. Оператор (/) определяется тем
же уравнением с заменой фт(х) на ф(х).
Аналогичным образом можно ввести out-поля, описывающие физическую систему
при /-> + оо. Вместо (16.84) имеем
V^out м = Ф (*) - $ d*y 5adv (х - у) j (у), (16.92)
162
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦ,
1ГЛ. 16
где
(iVx - т) Sadv (х - у) - б4 (х - у),
5adv (х - у) = О для х0>у0. (16.93)
При этом уравнения (16.86) - (16.90) по-прежнему справедливы для out-
операторов, причем асимптотическое условие имеет теперь вид
Пш (а | фf (0 | р) = л/^7 <" 14>o"t I Р>- (16-94)
t + оо
Уравнение, определяющее Z2 - вероятность образования одночастичного
состояния с массой т из вакуума, •- выводится в полной аналогии со
случаем скалярной теории. Определим
(х, х') = i<0 | {фа (*), (*')} 10)- (16.95)
Вставим далее полный набор состояний
рч I п) = рч | п)
и сместим операторы поля в начало координат
= i I [(0 | ф" (0) | я) <л ! (0) 10) <*-*'> +
+ (0! Фр (0) \п)(п \ фа (0) 10) eif>n (*~*')]. (16.96)
Введем снова спектральную амплитуду, объединив в сумме по п состояния с
данным 4-импульсом q
paf5 (q) = (2л)3 Е б4 {рп ~ Я) {0 I ^ (0) I п> {п | (0) | 0). (16.97)
П
Используя соображения, связанные с лоренцевой инвариантностью, можно
выяснить общий вид функции pap (q). Она представляет 4 X 4-матрицу и
может быть, таким образом, разложена по шестнадцати линейно независимым
матрицам Дирака
Рар {Я) = Р (9) баР + Р" (q) YSp + P^v (9) + P (9) Y^p + P" (q) (YUYV
(16.98)
Коэффициенты в этом разложении можно найти из условия лоренцевой
ковариантности1). Действительно, отдельные члены
') Излагаемые в этом параграфе аргументы неприменимы, когда поле •ф(jc)
связано с полем излучения. В этом случае необходимо дополнить ло-ренцево
преобразование градиентным преобразованием с тем, чтобы восстановить
поперечную калибровку, используемую при квантовании. В то же время
функция S'(x,x') не градиентно-инвариантна (см задачу 8 этой главы).
S 109] In- И out-ПОЛЯ В ТЕОРИИ ДИРАКА 163
в (16.98) должны преобразовываться так же, как и рар в (16.97). Напомним
в этой связи, что при преобразовании Лоренца
U (а) Фо (0) U~X (а) = Sak (а) (0),
U(a)tya(0)U~l (а) = -фд, (0) Sla (а), (16.99)
где 5 - матрица, определенная в гл. 2,
S~YS = dy. (16.100)
Тогда, в предположении лоренцевой инвариантности вакуума
и 10) = | 0),
Рар (ч) = ? (2п)3 б4 (рп - q) (а) Sep (а) X
X (01 % (0) | U (а) п) {U (а) п | фб (0) | 0>. (16.101)
Используя инвариантность б-функции (см. (16.29)), перепишем
(16.101) в виде суммы по полному набору состояний [ т) = = | U(a)n):
Рар (ч) = sal (а) ? (2л)3 б1 (рт - qa~l) X
т
X <01 Фь(0)\т){т\(0)I 0)56р (а).
Таким образом,
р (q) = S~l (a) p(qa_I) S (а). (16.102)
Это уравнение определяет вид коэффициентов р(<7), рц(<7) и т. д. в
выражении (16.98). Если подставить (16.98) в (16.102), то получим,
например,
р(<?) - Р (Ча~')>
т. е. что р(q) преобразуется, как скаляр. Аналогичным образом находим,
что
Ри (<7) = аХ (Ча~')
преобразуется, как 4-вектор, и т. д. Так как рар зависит только от q и
обращается в нуль вне переднего светового конуса, то р и р в (16.98)
зависят только от q2. Поэтому р^) и рд (q) можно представить в виде
скалярных функций от q2, умноженных на q^, точно так же р^
пропорционально qflqv. В результате получаем
Раз (ч) = Р, (ч2) U + Р2 (<f) баЭ + р, (<72) (4V5U + Р2 (Ч2) v5ae.
(16.103)
Далее используем инвариантность теории при пространственном отражении
а(0)^'1 = ^Д(°). (16.104)
164 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА [ГЛ. 16
Подставив (16.104) в (16.97) и выполнив выкладки, аналогичные тем,
которые были проделаны при рассмотрении лоренцевых преобразований,
получим
Раз О- 0 = Y>w(-<7, (16.105)
Подстановка (16.103) в (16.105) приводит к результату
Pi = Р2 = 0, (16.106)
поскольку матрица у5 антикоммутирует с у0. В результате получаем
окончательное выражение для pap(q):
раР (q) = pi (q2) <7ар + р2 (q2) вар. (16.107)
Дальнейшее рассмотрение основывается на представлении рар в виде
(16.107). В том случае, когда включены слабые взаимодействия, отражение
пространства уже не является преобразованием симметрии теории, и для рар
нужно рассматривать более общее выражение (16.103). При этом константа
перенормировки Z2 является матрицей вида а + Ьу5. Соответствующие
вычисления можно найти в оригинальных статьях [60, 61].
Спектральная амплитуда для второго члена в (16.96) может быть выражена
непосредственно через (16.97) с помощью
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed