Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь ясно, какой вид имеет окончательный результат:
(pi ... рпout|... qm in) =
m ti _______
=C~w)m+n П S d*xt П S d*,ji i ^ п +m2) x
X (о IТ (Ф (г/,) ... ф (yn) Ф (*,). .. Ф (xm)) \ 0) X
X (Di/i + m2) f*Pj (г/у), если все pt^qj. (16.81)
В формуле (16.81) мы предположили для простоты, что все р( ф qh и
опустили члены, отвечающие рассеянию на нулевой
угол, которые содержатся в выражениях (16.77) и
(16.80). Учет этих членов не представляет никаких трудностей, поскольку к
ним может быть также применена описанная редукционная техника.
Уравнение (16.81) является основой всех вычислений в современной
квантовой теории поля. Уместно в этой связи сделать следующее замечание.
Величина <0|Пф(*1) ••• фЫ)|0)
равна точной r-частичной функции Грина (см. рис. 16.2), представляя по
своему смыслу сумму всех фейнмановских графиков, в которых частицы
рождаются или уничтожаются в точках (Z\, ..., zr). При этом операторы (Пг
+ дг2) в (16.81) устраняют пропагаторы внешних линий, поскольку в
импульсном пространстве каждый из них равен т2 - р2 и сокращается с
соответствующим пропагатором i/^pf - m2). Таким образом, S-матричный
элемент в силу редукционной формулы (16.81) равен просто функции Грина
для г - пфт частиц, в которой нужно выделить внешние концы, а все внешние
импульсы взять на массовой
Рис. 16.2. Полная r-частичния функция Грина.
In- И out-ПОЛЯ В ТЕОПЙИ ДИРАКА
159
поверхности, pf - q2j = т2. Этот факт будет широко использоваться в
дальнейшем.
Отметим еще близкую аналогию редукционной формулы
(16.81) с представлением для 5-матрицы, полученным в методе функций
распространения (см. (6.30)). Эта аналогия становится особенно ясной,
если переписать объемные интегралы в (6.30) в четырехмерной форме.
Используя свойства запаздывающей функции Грина, а также уравнение
Шредингера
Сравнивая (16.81) и (16.82), мы видим, что в одночастичной теории полная
r-частичная функция Грина с точностью до нерелятивистской подстановки
заменяется на запаздывающую одночастичную функцию Грина G(x',x) в
заданном внешнем поле. Мы предлагаем читателю показать, что аналогичный
результат имеет место и в позитронной теории (см. (6.56)), где роль
функции G играет точный фейнмановский пропагатор.
§ 109. In- и out-поля и спектральное представление в теории Дирака
Продолжим наше обсуждение, включив в рассмотрение спи-норное и
электромагнитное поля. При этом мы сталкиваемся лишь с формальными
трудностями. Спин усложняет алгебру в дираковском случае, а градиентная
инвариантность вносит некоторые усложнения при рассмотрении уравнений
Максвелла. Основные же идеи, использовавшиеся при построении in- и out-
состояний и при обсуждении спектрального представления
получаем
(16.82)
160
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА
[ГЛ. 16
вакуумного среднего от коммутаторов, а также при выводе редукционной
формулы, остаются при этом неизменными [56, 59].
Рассмотрим уравнение Дирака с физической массой т, вводя, по аналогии с
(16.13), массовый контрчлен
(/V - т) ф (дс) = / (х), / (дс) = / (дс) - (т - т0) ф (дс). (16.83)
Поля ф(дс) удовлетворяют обычным одновременным перестановочным
соотношениям (15.9)
{фа (*, 0. Фр (у. 0} = о, {фа (дс, 0. Фэ (у, 0} = б3 (дс - у) бар.
Снова определим in-поле фш (дс) как неоднородный член в интегральном
уравнении, соответствующем уравнению (16.83), т. е.
матричный элемент оператора фт(дс) между вакуумом и одночастичным
состоянием был равен единице.
Из определения следует, что оператор фш(дс) удовлетворяет свободному
уравнению Дирака с массой т:
и обладает теми же трансформационными свойствами, что и поле фы(дс), в
частности
Так как каждая компонента спинора фш(дс) удовлетворяет уравнению Клейна-
Гордона, то, как и в (16.8), можно показать, что ф1П(дс), действуя на
вакуум, приводит к одночастичному состоянию с массой т.
Фурье-разложение поля фт(дс) имеет тот же вид, что и разложение
свободного дираковского поля (см. гл. 13). Запишем его в виде
Ф1п М = \ d3p Yj lbm (р, s) Ups {x) + din (p, s) VPs (a)], (16.88)
VZ2 ФщМ - ФМ - ^ d*y 5ret (* ~ У> (16.84)
где Sret (дс) - запаздывающая функция Грина:
(tV* - т.) 5ret (дс - у, т) = б4 (дс - у),
•Sret (х - у) = 0 При ДС0 < у0.
Константа sfzl по-прежнему выбирается из условия, чтобы
(16.85)
(IV - т) ф,п (дс) = 0
(16.86)
(16.87)
где
§ 1091 In- И ouf-ПОЛЯ В ТЕОРИИ ДИРАКА 161
и Ер = -\- Vl Р I2 + гп2 • Обратив уравнение (16.88) и эрмитово
сопряженное уравнение, для коэффициентов разложения получим
bin (р, s) = jj (Fx Ups (х) ф1п (х), ЬТАР, s)=\d\rfn(x)Ups(x),
. (16.89)
dinip, s) = \ d3x ф+ (х) Vps (х), dtn (р, s) = jj d3x Vps (х) ф,п (х).
Эти коэффициенты удовлетворяют перестановочным соотношениям
[Яц, Ьщ (р, s)J = - р^Ьы (р, s),
[Р11, btn (р, s)] = + p4tn (р, s),
[P. din(p, S)]=-fdin(p, s), [p\ <Й(р, s)]= + p"dtn{p, s),
которые следуют из (16.87).
Выражения (16.90) совпадают с перестановочными соотношениями для
свободного поля. Поэтому мы можем построить произвольное n-частичное
состояние, последовательно действуя на вакуум операторами btn и dtn
