Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ниже мы рассмотрим вычисление вакуумных средних от произведения полевых
операторов. Эти величины в некотором смысле более удобны, чем матричные
элементы вида (16.59). Далее мы разложим операторы ф(х) в ряды теории
возмущений и получим таким образом общий вид разложения 5-матричных
элементов в терминах вакуумных средних свободных in-полей.
Соответствующие формулы в точности совпадают с фейнманов-скими правилами,
введенными при рассмотрении функций распространения. Отметим еще, что
требования инвариантности, аналогичные тем, которые использовались при
вычислении функ-
156
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА
[ГЛ. 16
ции А'(л: - х'), наиболее легко сформулировать для матричных элементов
гейзенберговских операторов ф(х) между единственным образом определенным
и инвариантным вакуумным состоянием. Этот подход приводит к ряду новых
результатов, которые не связаны с использованием теории возмущений.
Приступим теперь шаг за шагом к построению общей "редукционной техники".
Эта техника позволяет извлечь всю информацию, заключенную в определении
физических состояний (16.59) и перенести ее на произведение полевых
операторов, зажатых между вакуумными состояниями.
Рассмотрим S-матричный элемент
•Sp, ар = Ф out I ар in), (16.72)
где индекс |3 означает частицы в out-состоянии ||3 out), а \арт) означает
совокупность частиц а в in-состоянии плюс еще одну налетающую частицу с
импульсом р.
Используя асимптотическое условие, мы можем извлечь из in-состояния
частицу р, вводя вместо нее подходящий полевой оператор. С учетом
(16.22), (16.9) и (16.48) ¦) имеем
ф out | ар in) = ф out I а+ (р) | а in) -
= ф out | а+1 (р) | а in) + ф out | а+ (р) - а+1 (р) | а in) =
-Ф-Pout | а in) - i Ф out I J dh fp (xfdo [Ф.П M - Фоа! (*)] I "in).
(16.73)
Здесь |p - p out) есть состояние, из которого в том случае, когда частица
р содержится в наборе р, нужно удалить эту частицу, в противном случае
первый член в (16.73) равен нулю. Если \ар in) представляет начальное
двухчастичное состояние, то первый член в (16.73) вносит вклад только в
амплитуду упругого рассеяния на нулевой угол, причем в ту ее часть,
которая отвечает сохраняющимся квантовым числам налетающей частицы и
частицы мишени. Правая часть в (16.73) по теореме Грина не зависит от
времени. Используя асимптотические условия (16.20) и (16.50), можно
замешпъ ф[П(*, хй) при х0->-оо и ф0и|(*"*о) при лго->,+ оо на(1/У21 )ф(ж,
х0); при этом получаем ф out | ар in) = ф - р out | a in) +
+ -j=r( lim - lim ) \ d3xfp (x, x0) dt(Pout | ф (дс, *") 1а in).
Vz ^o-"+oo ха-*-оо J
____________________________________________________________ (16.74)
') Строго говоря, следует работать с нормированными состояниями и
использовать операторы ф(п, определенные в (16.21), вместо щп(р). Тем не
менее при практических вычислениях мы будем использовать, с известной
осторожностью, простые плосковолновые решения.
§ 108] РЕДУКЦИОННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ ПОЛЕЙ 157
Тем самым выполнен первый этап в редукционном разложении. Желая сохранить
ковариантную форму вычислений, мы перепишем выражение (16.74) в виде
четырехкратного интеграла, используя тождество
оо
С ^^ г ^ ^
( Пш - lim ) \ д?х gi (х) до g2 {х) = \ й4х [g, (х) д0 g2
{х]\ =
Ж0-"+оо х0-*-оо J J ил0
- ОО
00
= jj d*x Гgi (х) -2- g2 (х) - д-?2х-~ g2 wl • (16.75)
- оо 10 О J
Учтем далее, что fp(x) удовлетворяет уравнению Клейна - Гордона
~~Т~ - (V2 - т2) fp (х). (16.76)
OXq
Интегрируя член с V2 по частям '), получим искомый результат (р out | ар
in) = (р - р out | a in) +
+ ^ d*x fp (x) (? + m2) <p out | ф (лг) I ct in). (16.77)
Далее можно последовательно применять описанную процедуру до тех пор,
пока мы не вытащим все частицы из обкладок матричного элемента и не
представим наше выражение в виде вакуумного среднего от произведения
полевых операторов. Пусть, например, в (16.77) р = ур'. Повторяя
предыдущие выкладки и используя при этом там, где нужно, эрмитовое
сопряжение, мы можем исключить out-частицу р' из набора \р\ в результате
получаем
(Р out | ф (х) | a in) = (у out | ф (х) | а - р' in) +
+ (у °ut | aout (р') ф (л:) - ф( х) а\п (р') | ai n) = (у out | ф (х) | а
- р' in) - - i ^ dhy (у out | ф01й (у) ф (х) - Ф (х) ср1п (у) | a in)
d^f*p, (у). (16.78)
Асимптотическое условие снова позволяет заменить в матричном элементе
(16.78) in- и out-поля при г/о-*--оо и г/0-> +°о соответственно на (l/V^)
ф(у), в результате (16.78) записывается в виде хронологического
произведения (12.72):
(у out | фои( (у) ф (х) - ф (*) ф!п (у) | a in) =
= --( lim - lim ) (у out | T (ф (у) ф (х)) \ a in). (16.79)
¦\JZ Уо~* + оо i/0 -> -ОО
') Поскольку физическая система локализована в пространстве, при таком
интегрировании не возникает никаких поверхностных членов.
158
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА
1ГЛ, 16
Используя (16.75) и (16.76), получаем (ур' out 1 ф (лг) 1 a in) = {у out
| ф (х) | а - р' in) +
+ ~=r ^ d4y (у out j Т (ф (у) ф (х)) | а in) (Q2 + m2) f*p, (у).
(16.80)
