Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем далее, что в присутствии взаимодействия условие Z < 1 находится в
противоречии с сильным асимптотическим условием. Предположив, что условие
(16.17) справедливо и проводя вычисления, аналогичные вычислениям в
(16.41), получим
lim (0 | [ф (дс, t), ф (дс', ^)] 10) = - гб3 (дс - дс') =
t -> -ОО
=L lim Z (0 | [ф.п (дс, t), ф1п (дс', 0] I 0). (16.44)
<-*-оо
С другой стороны, взяв производную от коммутатора двух in-полей
<0 I [Ф1п (дс), Фш (О] 10) = Ш (х - х') (16.45)
и сравнив с (16.44), мы приходим к заключению, что 2=1. Очевидно, что в
рассматриваемом случае возможность перестановки операций суммирования и
интегрирования не может быть строго обоснована.
§ 106. Out-поля и out-состояния
Точно так же, как мы рассмотрели динамическое описание системы при t->-оо
в терминах in-полей, можно рассмотреть предел t-*¦ -(-оо и ввести
подходящим образом определенные out-поля фои^*). Состояния при f->-Too
представляют конечные состояния в рассеянии, поэтому целесообразно иметь
простой аппарат для описания физической системы в этот момент времени.
Свойства оператора ф01и(х) вполне аналогичны свойствам ф1" (х). Этот
оператор, по аналогии с (16.5) и (16.6), удовлетворяет соотношениям
06.46)
(? + т2) фои4 (х) = 0, (16.47)
откуда следует, что, действуя на вакуум, фои^дг) образует только
одночастичные состояния. Из разложения, аналогичного (16.9),
Tout W = S ["out (*) fk M + ao+ut (Ь) П W] О6-48)
§ 106] Oul-поля и out-СОСТОЯНИЯ 151
получаем
l>'\ aout (й)] = - k"a0ut (k), [Я1*, e+"t (й)] = k"atut (ft), (16.49)
что находится в полной аналогии с (16.10).
Теперь, однако, в противоположность (16.20), мы рассматриваем
асимптотическое условие в виде
lim (a |cpf (01P) = У (a | <pfQUt | p) (16.50)
/-"+oo
или просто
(р(х)-*л/г <pout(x) при /-> + 00, (16.51)
где последнее выражение понимается в смысле слабой операторной
сходимости. Для определения оператора qpout(x) мы вместо (16.14)
используем уравнение
У2 q>out (*) = ф (х) - 5 d*y Aadv (х - у\ т) ](у), (16.52)
где Aadv(x - y> tn) - опережающая функция Грина:
(Ох + т2) Aadv (х - у, т) - 64 (х - у),
Aadv (х - у, т) = 0, если ха - у0> 0. (16.53)
Нормировочная константа *\J Z снова вводится для того, чтобы амплитуда
образования из вакуума одночастичного состояния с помощью оператора
<p0ut(x) была равна единице. Используя уравнения (16.36) - (16.38), можно
показать, что эта константа тождественна с Z в (16.14):
<01 ф W I р) = У 2 <01 <pout (х) | р) =
= уг (О I <р," (*) I |>) = уг -^=р== е-"". (16.54)
Поэтому вакуумные средние от коммутаторов <ptn(x) и фои! (х) выражаются
через функции А для свободных полей
(01 [Ф|п (*), фш (г/)] | 0) = /А (х - у), 55
(° I [ф0ut W. 4>out ЩI °>= /Л (х ~ У)-
На самом деле указанные коммутаторы сами по себе представляют с-числа
[37]; другими словами, уравнения (16.55) остаются справедливыми и без
вычисления вакуумного среднего в левой их части
[фщ (*). Ф1п (У)] = [<Pout (*). Фои( (У)] == г'А (х - у)• (16-56)
Проверку этого факта мы оставляем читателю в качестве Упражнения.
152
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И 5-МАТРИЦА
[ГЛ. 16
§ 107. Определение и общие свойства S-матрицы
В предыдущих параграфах мы рассмотрели свойства операторов Фш(а) и
qpout(x). Теперь, используя развитую технику, можно перейти к
рассмотрению и изучению амплитуд перехода, или S-матричных элементов,
непосредственно наблюдаемых на опыте. Рассмотрим начальное состояние п
невзаимодействующих (т. е. пространственно разделенных) частиц с
квантовыми числами ри ..., рп:
\р{ ... p"in) = |ain). (16.57)
Индекс р означает, помимо импульса, все квантовые числа, характеризующие
частицу, такие, как заряд, странность и т. д. Отметим, что in-состояние
действительно можно характеризовать дополнительными квантовыми числами,
отвечающими различным преобразованиям симметрии системы, поскольку,
согласно определению (16.14), поле фт(х) при преобразованиях симметрии
имеет те же трансформационные свойства, что и ф(а). Например, если
[Q, фг (а)] = - Xrsqs (а),
то
[Q. !r Ml = (? + Ш2) [Q, фг (а)] = - XrJs (а), поэтому из (16.14) следует
[Q, ф)п (а)] = - ЯГ5ф'п (а).
Таким образом, мы можем интерпретировать константы движения для
взаимодействующей системы в терминах квантовых чисел начальных и конечных
состояний. В частности, систему свободных частиц в in- и out-состояниях
можно характеризовать квантовыми числами операторов, введенных в гл. 15
при рассмотрении сильно взаимодействующих частиц. S-матричный элемент для
перехода из "-частичного состояния (16.67) в пг-ча-стичное состояние
| р[ ... р'т out) = | р out) (16.58)
дается амплитудой вероятности
•Spa - (Р out I а in)- (16.59)
Это уравнение определяет ра-элемент S-матрицы.
Поучительно сравнить (16.59) с определением S-матричного элемента в
нерелятивистской теории. В уравнении (6.16) мы определили
Sfi = lim \ d3х ф! (дс, t) Ч-* (дс, t) = lim (ф, (дс, t), Wt (дс, /)),
(16.60)
f>°9 J ' С-too W {
§ 107] определение и общие свойства s-матрицы 153
где Чг* (х, () - точное решение уравнения Шредингера (6.74) с граничным
