Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
р (q) = (2я)3 ? б4 (рп - <?) I <0 | ф (0) | п) |2. (16.27)
П
Эта величина определяет вклад в А' всех состояний с 4-импуль-сом q. Из
лоренцевой инвариантности следует, что р (<7) есть функция только q2.
Действительно, поскольку
?/(а)|0> = |0>
и
U (а) Ф (0) U~1 (а) = ф (0),
то
р (q) = (2п)3 Z б4 (рп - q) | <0 | Ф (0) | U (а) п) |2, (16.28)
П
где а - матрица коэффициентов собственного лоренцева преобразования.
Лоренцева инвариантность б-функции очевидна из ее фурье-разложения,
поэтому
б4 {рп - q) = б4 [{рп - q) а-1]. (16.29)
Наконец, выполнив суммирование по полному набору векторов \tri) = U(а) \
п) с импульсами
Pi = {т IР" I т) = (п | U-1 (a) P"U (а) | п) = [р^Г'Т, (16.30)
приходим к следующему результату:
Р (q) = (2л)3 Z б4 (Pm - qa~l) 1 <0 | Ф (0) | m) |2 == р (qa-1).
m
Так как в силу предположенного свойства спектра оператора спектральная
функция р (q) обращается в нуль вне переднего светового конуса, то
p(q) = p(q2)Q(qo), (16.31)
причем p(q) равна нулю для q2 < 0 и вещественна и неотрицательна
при q2 ^ 0. Уравнение (16.26) может быть поэтому
записано в виде интеграла от инвариантной функции свободного поля с
весовой функцией р
А' (х - х') = - -щг J А Р (q2) 6 Ы (e~iq {х~х,) - eiq <*-*'>) =
00
" - 72яр S d°2 р ^ Sd4q 6 е ^ e~iq {х~х)=
о
00
= ^ da2 р (а2) А (х - х', а), (16.32)
. о
') В терминах неперенормированных полей.
143 Вакуумный средние и s-матйица ггл. ш
где 0(<7о), е(<7о) и инвариантная функция А с массой а определены в
приложении В.
Выражение (16.32) называется спектральным представлением вакуумного
среднего от коммутатора. В квантовой электродинамике оно было получено
Чел леном в 1952 г., а для рассматриваемого случая - Леманом в 1954 г.1).
Приведенный выше вывод применим без каких-либо изменений и для различных
функций Грина в теории поля. Например,
оо
А^, (х - х') = - / (01Т (ф (х) ф (х') 10) = Ц do2 р (a2) iSF(x - х', а)
(16.33)
или, в импульсном пространстве,
оо
A" = $rfcr2p(g2) pi_\i + ia,
о
причем функция р здесь та же, что и в (16.32).
Хотя спектральная амплитуда (16.27) не вычисляется в явном виде, мы
можем, выделив в ней вклад одночастичного состояния, доказать условие
0<Z<1, (16.34)
а также показать противоречивость выражения (16.17) как операторного
уравнения. Для этого заметим,что в силу наших предположений о свойствах
спектра оператора Р" (см. рис. 16.1) функция р(а2) при а2 - т2
определяется только одночастичным матричным элементом <0|ф(а)|д> в
(16.27). Согласно (16.14)
<0 | ф (х) I д) = УZ (0 [ ф|п (а) I р) + 5 d4y Aret (х - у, т) (0 \ }(у)
| р).
(16.35)
Но второй член в этом выражении обращается в нуль в силу
(16.13):
<0 I J(y) | р) = <0 | (? + т2) ф (у) | р) =
- (? + т2) е~'РУ (0 | ф (0) | р) -
- (т2 - р2) (01Ф (г/) |р) = 0. (16.36)
Поэтому ___
<0|ф(х) \р) = V-Z <01 Ф1п (х) | р). (16.37)
') См. [55-57], а также A. Wightman (не опубликовано, 1953), цитируется в
книге [25]. При нашем выводе мы, не задумываясь, меняли порядок
интегрирования и суммирования. Для обоснования возможности этой замены
см. цитированную литературу.
§ i05] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 149
По определению оператор фт(*) нормирован так, что матричный элемент
(0|ф1п(л:) \р) совпадает с матричным элементом свободного поля. Используя
(16.9) и (16.11), получим
<° 1 <Р," М \Р)=\ <01 "I. "I /" = • (16.38)
Соответствующий матричный элемент для ф(а) отличается от (16.38)
множителем д/Z .
Таким образом, вклад одночастичного состояния в р(^) равен
(2я)3 J 6?р б4 (р - q) -^2Юр = Z6 (q2 - ш2) 6 (q0). (16.39)
Отделив этот вклад в спектральной функции, перепишем (16.32) в виде
оо
А'(л: - х') = ZA(x -х', т)^ dcr2p(сг2) А (х - х!\ о), (16.40)
4
где пороговое значение mf определяется квадратом массы наи-низшего
состояния континуума; для я-мезонов, например, т - = тп и tn\ - 4m2.
Взяв в (16.40) производную по времени и полагая t = t', мы получаем
требуемый результат. Действительно, используя определения (16.23) и
(12.42) функций А' и А, а также канонические перестановочные соотношения
(16.4), получаем
Jim (/ А' (х - л:')) = (0 | [ф (х, t), ф (х', /)] 10) =
= - /б3 (дс - х') - Пт (г -^-А(х - х'\ a) j , (16.41)
откуда
оо
l = z+ \ р(а2) da2. (16.42)
4
Поскольку р (or2) не отрицательна, из (16.42) следует, что
0<Z<1 (16.43)
при условии, что наши вычисления имеют смысл и интеграл в (16.42)
существует. Интуитивно представляется естественным,
что Z Ф 1, если имеется связь с континуумом. Действительно,
можно ожидать, что амплитуда рождения одночастичного состояния из вакуума
полем ф(х) меньше единицы, поскольку это
150
ВАКУУМНЫЁ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА
[ГЛ. 16
поле рождает еще и состояния континуума. Однако константа Z не может
равняться и нулю, так как в этом случае уравнение
(16.14), определяющее поле ф1П(*)> с помощью которого строятся
произвольные многочастичные состояния (16.22), теряет смысл. Поэтому было
бы весьма неприятно обнаружить, что отдельные члены в ряду теории
возмущений нарушают условие Z ф 0.
